题目

Problem

The weight of a baby mammal is monitored over a 16-month period.

The weight of the mammal, $w\text{ kg}$ , is given by

$w = \log_a(t + 5) - \log_a 4 \qquad 2 \leqslant t \leqslant 18$

where $t$ is the age of the mammal in months and $a$ is a constant.

Given that the weight of the mammal was $10\text{ kg}$ when $t = 3$

(a) show that $a = 1.072$ correct to 3 decimal places.

(3)

Using $a = 1.072$

(b) find an equation for $t$ in terms of $w$

(3)

(2)

解答

(a)

解法一

思路

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首先，代入已知条件 $t = 3$ 和 $w = 10$ ：

10 = \log_a(3 + 5) - \log_a 4 = \log_a 8 - \log_a 4

利用对数的相减法则（ $\log_a X - \log_a Y = \log_a \frac{X}{Y}$ ）化简右边：

10 = \log_a \left(\frac{8}{4}\right) = \log_a 2

将对数式改写为指数式（如果 $\log_a X = Y$ 则 $a^Y = X$ ）：

a^{10} = 2 \implies a = 2^{1/10} = \sqrt[10]{2}

使用计算器求出具体数值：

a \approx 1.07177346...

四舍五入到三位小数为 $1.072$ 。

答题过程

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Substitute $t = 3$ and $w = 10$ into the equation:

\begin{align*} 10 =&\,\, \log_a(3 + 5) - \log_a 4 \\[2mm] 10 =&\,\, \log_a 8 - \log_a 4 \end{align*}

Applying the subtraction law of logarithms ( $\log_a X - \log_a Y = \log_a \dfrac{X}{Y}$ ):

\begin{align*} 10 =&\,\, \log_a\left(\frac{8}{4}\right) \\[2mm] 10 =&\,\, \log_a 2 \end{align*}

Converting the logarithmic equation into exponential form:

\begin{align*} a^{10} =&\,\, 2 \\[2mm] a =&\,\, 2^{\frac{1}{10}} \\[2mm] a =&\,\, 1.071773... \\[2mm] a \approx&\,\, 1.072 \quad (\text{to 3 decimal places}) \quad \text{(proven)} \end{align*}

(b)

解法一：先合并对数项

思路

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我们需要将 $w$ 关于 $t$ 的方程变形，将 $t$ 孤立出来。已知 $a = 1.072$ ：

w = \log_{1.072}(t + 5) - \log_{1.072} 4

首先，利用对数商的运算法则将右侧两个对数项合并为一个对数项：

w = \log_{1.072}\left(\frac{t + 5}{4}\right)

转化为指数式：

1.072^w = \frac{t + 5}{4} \implies 4 \times 1.072^w = t + 5 \implies t = 4 \times 1.072^w - 5

答题过程

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Using the subtraction law of logarithms:

\begin{align*} w =&\,\, \log_{1.072}(t + 5) - \log_{1.072} 4 \\[2mm] w =&\,\, \log_{1.072}\left(\frac{t + 5}{4}\right) \end{align*}

Converting to exponential form:

\begin{align*} 1.072^w =&\,\, \frac{t + 5}{4} \\[2mm] 4 \times 1.072^w =&\,\, t + 5 \\[2mm] t =&\,\, 4 \times 1.072^w - 5 \end{align*}

解法二：先移项，再运用指数性质

思路

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首先，通过移项将含有 $t$ 的对数项孤立在等式一侧：

\log_{1.072}(t + 5) = w + \log_{1.072} 4

然后以 $1.072$ 为底数，对等式两边进行指数化，并利用指数乘法性质展开右边：

t+5 = 1.072^{w + \log_{1.072} 4} = 1.072^w \times 1.072^{\log_{1.072} 4} = 1.072^w \times 4

从而解出 $t$ 。

答题过程

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Rearranging the log equation to isolate the term with $t$ :

\begin{align*} \log_{1.072}(t + 5) =&\,\, w + \log_{1.072} 4 \end{align*}

Taking base $1.072$ exponentiation on both sides:

\begin{align*} t + 5 =&\,\, 1.072^{w + \log_{1.072} 4} \\[2mm] t + 5 =&\,\, 1.072^w \times 1.072^{\log_{1.072} 4} \\[2mm] t + 5 =&\,\, 1.072^w \times 4 \\[2mm] t =&\,\, 4 \times 1.072^w - 5 \end{align*}

(c)

解法一

思路

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Warning

题目中明确说明了 “Using $a = 1.072$ ”（使用 $a=1.072$ ）。如果在计算中使用前面的精确值 $a = 2^{1/10}$ ，代入计算会得到 $t = 4 \times (2^{1/10})^{15} - 5 = 4 \times 2^{1.5} - 5 \approx 6.31$ 。但官方评分标准（Mark Scheme）规定：必须使用题目指定的近似值 $a = 1.072$ ，如果代入精确值计算得到 $6.31$ 会被判定为 $A0$ （零分）。因此我们必须严格使用 $a=1.072$ 来计算。

代入 $w = 15$ 到 (b) 部分求得的表达式中：

t = 4 \times 1.072^{15} - 5

利用计算器计算并保留 3 位有效数字（3 significant figures）。

答题过程

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Substitute $w = 15$ and $a = 1.072$ into the equation derived in part (b):

\begin{align*} t =&\,\, 4 \times 1.072^{15} - 5 \\[2mm] =&\,\, 4 \times 2.8361767... - 5 \\[2mm] =&\,\, 11.3447... - 5 \\[2mm] =&\,\, 6.3447... \\[2mm] \approx&\,\, 6.35 \quad (\text{to 3 significant figures}) \end{align*}

(Note: If the exact value $a = 2^{\frac{1}{10}}$ were used instead, the result would be $t = 4 \times 2^{1.5} - 5 \approx 6.31$ , which is not accepted under the marking criteria.)

IAL 2022 Oct Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一：先合并对数项

思路

答题过程

解法二：先移项，再运用指数性质

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程