题目

Problem

\mathrm{f}(x) = \left( 2 + \frac{kx}{8} \right)^7

where $k$ is a non-zero constant.

(a) Find the first 4 terms, in ascending powers of $x$ , of the binomial expansion of $\mathrm{f}(x)$ . Give each term in simplest form.

(4)

Given that, in the binomial expansion of $\mathrm{f}(x)$ , the coefficients of $x$ , $x^2$ and $x^3$ are the first 3 terms of an arithmetic progression,

(b) find, using algebra, the possible values of $k$ .

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

使用二项式定理（Binomial Theorem）展開公式：

(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2}b^2 + \binom{n}{3} a^{n-3}b^3 + \cdots

本題中 $a = 2$ ， $b = \frac{kx}{8}$ ， $n = 7$ 。將這些項代入公式並化簡前 4 項即可。

答题过程

展开

Using the binomial expansion formula:

\begin{align*} \mathrm{f}(x) =&\,\, \left( 2 + \frac{kx}{8} \right)^7 \\[3mm] =&\,\, 2^7 + \binom{7}{1} 2^6 \left( \frac{kx}{8} \right) + \binom{7}{2} 2^5 \left( \frac{kx}{8} \right)^2 + \binom{7}{3} 2^4 \left( \frac{kx}{8} \right)^3 + \cdots \\[3mm] =&\,\, 128 + 7(64)\left( \frac{kx}{8} \right) + 21(32)\left( \frac{k^2x^2}{64} \right) + 35(16)\left( \frac{k^3x^3}{512} \right) + \cdots \\[3mm] =&\,\, 128 + 56kx + \frac{21}{2}k^2x^2 + \frac{35}{32}k^3x^3 + \cdots \end{align*}

Therefore, the first 4 terms of the expansion are:

\begin{align*} 128 + 56kx + \frac{21}{2}k^2x^2 + \frac{35}{32}k^3x^3. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

提取係數：從 (a) 的展開式中，得到 $x$ 、 $x^2$ 和 $x^3$ 的係數分別為： $a = 56k, \quad b = \frac{21}{2}k^2, \quad c = \frac{35}{32}k^3$
等差數列條件：若這三個係數按順序構成等差數列（arithmetic progression），則滿足關係： $2b = a + c$
求解 $k$ ：代入係數表達式後，得到一個關於 $k$ 的三次方程。由於 $k \neq 0$ ，可以兩邊同除以 $k$ ，從而將其化簡為一元二次方程，再進行因式分解即可求出 $k$ 的可能值。

答题过程

展开

The coefficients of $x$ , $x^2$ and $x^3$ are $56k$ , $\frac{21}{2}k^2$ and $\frac{35}{32}k^3$ respectively.

Since these coefficients form the first 3 terms of an arithmetic progression, we have:

\begin{align*} 2\left( \frac{21}{2}k^2 \right) =&\,\, 56k + \frac{35}{32}k^3 \\[3mm] 21k^2 =&\,\, 56k + \frac{35}{32}k^3. \end{align*}

Given that $k$ is a non-zero constant ( $k \neq 0$ ), we can divide both sides of the equation by $k$ :

\begin{align*} 21k =&\,\, 56 + \frac{35}{32}k^2. \end{align*}

Multiply the entire equation by $32$ to clear the fraction:

\begin{align*} 672k =&\,\, 1792 + 35k^2 \\[2mm] 35k^2 - 672k + 1792 =&\,\, 0. \end{align*}

Divide by $7$ :

\begin{align*} 5k^2 - 96k + 256 =&\,\, 0 \\[2mm] (5k - 16)(k - 16) =&\,\, 0. \end{align*}

Solving for $k$ :

\begin{align*} k = 16 \quad \text{or} \quad k = \frac{16}{5}. \end{align*}

IAL 2023 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程