1. 同底化簡：將常數 $2$ 寫成以 $3$ 為底的對數形式：$2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$。
2. 對數相加：利用對數相加公式 $\log_b A + \log_b B = \log_b(AB)$ 合併左邊： $$\log_3(4x) + \log_3 9 = \log_3(36x)$$
3. 去對數求解：令兩邊真數相等： $$36x = 5x + 7$$ 解此一元一次方程即可，最後檢查解是否滿足真數大於 $0$ 的條件。

Using the laws of logarithms:

Since the bases are equal, we can equate the arguments:

Since $x = \frac{7}{31} > 0$, both arguments $4x$ and $5x + 7$ are positive.

Therefore, the solution is:

1. 展開求和式：
   • 左邊的求和式為： $$\sum_{r=1}^2 (\log_a y)^r = (\log_a y)^1 + (\log_a y)^2 = \log_a y + (\log_a y)^2$$
   • 右邊的求和式為： $$\sum_{r=1}^2 \log_a(y^r) = \log_a(y^1) + \log_a(y^2) = \log_a y + 2\log_a y = 3\log_a y$$
2. 建立二次方程： 令兩邊相等： $$\log_a y + (\log_a y)^2 = 3\log_a y$$ 移項化簡得： $$(\log_a y)^2 - 2\log_a y = 0$$
3. 求解： 因式分解得 $\log_a y(\log_a y - 2) = 0$。 由於已知 $y > 1$ 且 $a > 1$，所以 $\log_a y > 0$，即 $\log_a y \neq 0$。 因此，只能是 $\log_a y = 2$，解得 $y = a^2$。

Expand the summations on both sides of the equation:

And,

Equating the two sides:

Since $y > 1$ and $a > 1$, we have $\log_a y > 0$, which implies $\log_a y \neq 0$.

Therefore,