曲線 $C$ 與 $y$ 軸相交於點 $D$，即該點的 $x$ 坐標為 $0$。 將 $x = 0$ 代入曲線方程 $y = x^2 - 4x + 5$，即可求出 $D$ 的 $y$ 坐标，寫出坐標形式即可。

The curve $C$ intersects the $y$-axis at point $D$. Substituting $x = 0$ into the equation of $C$:

Therefore, the coordinates of $D$ are:

點 $E$ 和 $F$ 是曲線 $C$ 與直線 $l: y = 2$ 的交點。 聯立方程，令 $x^2 - 4x + 5 = 2$，得到一個一元二次方程，因式分解解出兩個根。 根據圖中位置，較小的根為 $E$ 的 $x$ 坐標，較大的根為 $F$ 的 $x$ 坐標。

Set the equation of curve $C$ equal to the equation of line $l$:

Solving for $x$ gives $x = 1$ or $x = 3$.

Since $E$ lies to the left of $F$:

• The $x$ coordinate of $E$ is $1$.
• The $x$ coordinate of $F$ is $3$.

本題需要分別求出區域 $R_1$ 和 $R_2$ 的面積：

1. 計算 $\text{Area}(R_1)$： 區域 $R_1$ 在 $x \in [0, 1]$ 區間內，由曲線 $C$（上方）和直線 $y=2$（下方）圍成。 $$\text{Area}(R_1) = \int_0^1 (y_C - y_l) \, \mathrm{d}x = \int_0^1 (x^2 - 4x + 5 - 2) \, \mathrm{d}x = \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) \, \mathrm{d}x$$
2. 計算 $\text{Area}(R_2)$：
   • 方法一：割補法。區域 $R_2$ 可以看作是直線段 $DF$ 下方的梯形面積，減去曲線 $C$ 下方的面積。
     • 直線段 $DF$ 連接 $D(0, 5)$ 和 $F(3, 2)$。其下方的投影是一個直角梯形，上底為 $5$，下底為 $2$，高為 $3$。 $$\text{Area}(\text{Trapezium}) = \frac{5 + 2}{2} \times 3 = \frac{21}{2}$$
     • 曲線 $C$ 下方的面積（從 $x=0$ 到 $x=3$）可以分為兩部分：
       • 在 $x \in [0, 1]$ 上，是曲線 $C$ 下方的面積：$\int_0^1 (x^2 - 4x + 5) \, \mathrm{d}x$。
       • 在 $x \in [1, 3]$ 上，是直線 $y = 2$ 下方的矩形面積：$2 \times 2 = 4$。
       • 故曲線 $C$ 下方的總面積為： $$\int_0^1 (x^2 - 4x + 5) \, \mathrm{d}x + 4 = \frac{10}{3} + 4 = \frac{22}{3}$$
     • 區域 $R_2$ 的面積為： $$\text{Area}(R_2) = \frac{21}{2} - \frac{22}{3} = \frac{19}{6}$$
3. 計算比值 $k$： $$k = \frac{\text{Area}(R_1)}{\text{Area}(R_2)} = \frac{4/3}{19/6} = \frac{8}{19}$$

Step 1: Find the Area of $R_1$

The region $R_1$ is bounded above by the curve $C$ and below by the line $y = 2$ from $x = 0$ to $x = 1$.

Step 2: Find the Area of $R_2$

First, find the equation of the line segment $DF$ connecting $D(0, 5)$ and $F(3, 2)$.

The gradient of $DF$ is:

Since the $y$-intercept is $5$, the equation of the line $DF$ is:

The region $R_2$ is bounded above by the line segment $DF$ and below by:

• The curve $C$ from $x = 0$ to $x = 1$.
• The line $y = 2$ from $x = 1$ to $x = 3$.

We can calculate the area of $R_2$ by subtracting the area under the bottom boundary from the area of the trapezium under the line segment $DF$ (from $x = 0$ to $x = 3$).

• Area of the trapezium under $DF$:

  $$\begin{align*} \text{Area}_{\text{trap}} =&\,\, \frac{5 + 2}{2} \times 3 = \frac{21}{2}. \end{align*}$$

• Area under the bottom boundary: For $x \in [0, 1]$, the area under the curve $C$ is:

  $$\begin{align*} \text{Area}_{C} =&\,\, \int_0^1 (x^2 - 4x + 5) \, \mathrm{d}x \\[3mm] =&\,\, \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x \right]_0^1 \\[3mm] =&\,\, \frac{1}{3} - 2 + 5 \\[2mm] =&\,\, \frac{10}{3}. \end{align*}$$

  For $x \in [1, 3]$, the area under the line $y = 2$ is a rectangle of width $2$ and height $2$:

  $$\begin{align*} \text{Area}_{\text{rect}} =&\,\, 2 \times 2 = 4. \end{align*}$$

  So, the total area under the bottom boundary is:

  $$\begin{align*} \text{Area}_{\text{bottom}} =&\,\, \frac{10}{3} + 4 = \frac{22}{3}. \end{align*}$$

• Area of $R_2$:

  $$\begin{align*} \text{Area}(R_2) =&\,\, \text{Area}_{\text{trap}} - \text{Area}_{\text{bottom}} \\[2mm] =&\,\, \frac{21}{2} - \frac{22}{3} \\[2mm] =&\,\, \frac{63 - 44}{6} \\[2mm] =&\,\, \frac{19}{6}. \end{align*}$$

Step 3: Calculate the value of $k$

Therefore, the exact value of $k$ is $\frac{8}{19}$.