题目

Problem

(i) Using the laws of logarithms, solve

2\log_2(2-x)=4+\log_2(x+10)

(5)

(ii) Find the value of

\log_{\sqrt a}a^6

where $a$ is a positive constant greater than $1$

(1)

解答

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先把左边的系数 $2$ 放进对数内部，把 $4$ 写成 $\log_2 16$ ，再合并对数。最后要检查对数定义域。

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Use

\begin{align*} 2\log_2(2-x)=\log_2((2-x)^2) \end{align*}

and

\begin{align*} 4=\log_2 16. \end{align*}

Then

\begin{align*} \log_2((2-x)^2) =&\,\log_2 16+\log_2(x+10)\\ =&\,\log_2(16(x+10)). \end{align*}

\begin{align*} (2-x)^2=&\,16(x+10)\\ x^2-4x+4=&\,16x+160\\ x^2-20x-156=&\,0\\ (x+6)(x-26)=&\,0. \end{align*}

Thus

\begin{align*} x=-6\quad\text{or}\quad x=26. \end{align*}

For the original logarithms,

2-x>0 \quad\text{and}\quad x+10>0.

\begin{align*} -10<x<2. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} x=-6. \end{align*}

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$\sqrt a=a^{1/2}$ ，所以要问的是 $(a^{1/2})$ 的多少次方等于 $a^6$ 。

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Let

\begin{align*} \log_{\sqrt a}a^6=m. \end{align*}

Then

\begin{align*} (\sqrt a)^m=a^6. \end{align*}

Since $\sqrt a=a^{1/2}$ ,

\begin{align*} a^{m/2}=a^6. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} \frac m2=6, \end{align*}

\begin{align*} m=12. \end{align*}