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IAL 2024 May R Q1

A Level / Edexcel / P2

IAL 2024 May (R) Paper · Question 1

题目

Problem

The sequence u1u_1, u2u_2, u3u_3, …\ldots satisfies

\begin{align*}

u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n

Given that - $u_1=7$ - $u_3=4$ (a) find the value of $u_2$ <div style="text-align: right;">(2)</div> (b) find $\displaystyle\sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)$ <div style="text-align: right;">(3)</div>

解答

(a)

解法一

思路

展开

已知递推公式 un+2=3un+1−2unu_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n，把 n=1n=1 代入，就能用 u1u_1 和 u3u_3 表示 u2u_2。

答题过程

展开

Substituting n=1n=1 into the recurrence relation, \end{align*}

u3=3u2−2u1.\begin{align*} u_3=3u_2-2u_1. \end{align*}

\begin{align*} Substituting u1=7u_1=7 and u3=4u_3=4, \end{align*}

4= 3u2−2×74= 3u2−1418= 3u2u2= 6.\begin{align*} 4=&\,3u_2-2\times7\\ 4=&\,3u_2-14\\ 18=&\,3u_2\\ u_2=&\,6. \end{align*}

\begin{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先用递推公式求出 u4u_4，再逐项代入求和。也可以把求和拆成 ∑ur+∑2r\sum u_r+\sum 2r 分别计算。

答题过程

展开

First find u4u_4. Substituting n=2n=2 into the recurrence relation, \end{align*}

u4=3u3−2u2=3×4−2×6=0.\begin{align*} u_4=3u_3-2u_2=3\times4-2\times6=0. \end{align*}

\begin{align*} Now evaluate each term of the sum: \end{align*}

r=1:u1+2(1)= 7+2=9r=2:u2+2(2)= 6+4=10r=3:u3+2(3)= 4+6=10r=4:u4+2(4)= 0+8=8\begin{align*} r=1:\quad u_1+2(1)=&\,7+2=9\\ r=2:\quad u_2+2(2)=&\,6+4=10\\ r=3:\quad u_3+2(3)=&\,4+6=10\\ r=4:\quad u_4+2(4)=&\,0+8=8 \end{align*}

\begin{align*} Therefore \end{align*}

∑r=14(ur+2r)=9+10+10+8=37.\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)=9+10+10+8=37. \end{align*}

\begin{align*}

解法二

思路

展开

把求和拆成两部分：∑r=14ur\sum_{r=1}^{4}u_r 和 ∑r=142r\sum_{r=1}^{4}2r。前者逐项求，后者是等差数列求和。

答题过程

展开

\end{align*}

∑r=14(ur+2r)=∑r=14ur+∑r=142r\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)=\sum_{r=1}^{4}u_r+\sum_{r=1}^{4}2r \end{align*}

\begin{align*} From part (a), u1=7u_1=7, u2=6u_2=6, u3=4u_3=4. Using the recurrence relation with n=2n=2, \end{align*}

u4=3u3−2u2=3×4−2×6=0.\begin{align*} u_4=3u_3-2u_2=3\times4-2\times6=0. \end{align*}

\begin{align*} So \end{align*}

∑r=14ur=7+6+4+0=17.\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}u_r=7+6+4+0=17. \end{align*}

\begin{align*} And \end{align*}

∑r=142r=2(1+2+3+4)=2×10=20.\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}2r=2(1+2+3+4)=2\times10=20. \end{align*}

\begin{align*} Hence \end{align*}

∑r=14(ur+2r)=17+20=37.\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)=17+20=37. \end{align*}