题目

Problem

Figure 2

The point $A(-1,2)$ and the point $B(11,6)$ both lie on a circle with centre $P$ . The point $M$ is the midpoint of $AB$ . Given that the line $l$ passes through $M$ and $P$ , as shown in Figure 2,

(a) find an equation for $l$ , giving your answer in the form $y=mx+c$ , where $m$ and $c$ are constants.

(4)

Given that $P$ has coordinates $(7,k)$ , where $k$ is a constant,

(b) find the value of $k$ ,

(1)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

圆心到弦的中点连线垂直于弦，所以 $MP$ 垂直于 $AB$ 。先求 $M$ 和 $AB$ 的斜率，再求垂线方程。

答题过程

展开

The midpoint of $A(-1,2)$ and $B(11,6)$ is

\begin{align*} M=&\,\left(\frac{-1+11}{2},\frac{2+6}{2}\right)\\ =&\,(5,4). \end{align*}

The gradient of $AB$ is

\begin{align*} \frac{6-2}{11-(-1)} =&\,\frac4{12}\\ =&\,\frac13. \end{align*}

Since $MP$ is perpendicular to $AB$ , the gradient of $l$ is $-3$ .

Using point $M(5,4)$ ,

\begin{align*} y-4=&\,-3(x-5)\\ y-4=&\,-3x+15\\ y=&\,-3x+19. \end{align*}

Therefore, the equation of $l$ is

\begin{align*} y=-3x+19. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

因为 $P(7,k)$ 在直线 $l$ 上，把 $x=7$ 代入第 (a) 题的直线方程。

答题过程

展开

Since $P(7,k)$ lies on $l$ ,

\begin{align*} k=&\,-3(7)+19\\ =&\,-21+19\\ =&\,-2. \end{align*}

So $k=-2$ .

(c)

解法一

思路

展开

圆心是 $P(7,-2)$ 。半径可以用 $P$ 到 $B$ 的距离求，所以圆方程是 $(x-7)^2+(y+2)^2=r^2$ 。

答题过程

展开

The centre is

\begin{align*} P(7,-2). \end{align*}

Using point $B(11,6)$ ,

\begin{align*} r^2=&\,(11-7)^2+(6-(-2))^2\\[4mm] =&\,4^2+8^2\\[4mm] =&\,16+64\\[4mm] =&\,80. \end{align*}

Therefore, the equation of the circle is

\begin{align*} (x-7)^2+(y+2)^2=80. \end{align*}

解法二

思路

展开

圆的一般式方程。已知圆心坐标为 $(7,-2)$ ，可以将圆的方程设为 $x^2 + y^2 - 14x + 4y = \lambda$ 。由于已知点 $B(11,6)$ 在圆上，代入此点可以直接解出常数 $\lambda$ ，得到圆的方程。

答题过程

展开

Since the circle has centre $P(7,-2)$ , we can write its equation in general form:

\begin{align*} x^2 + y^2 - 14x + 4y = \lambda \end{align*}

Since the point $B(11,6)$ lies on the circle, substitute $x = 11$ and $y = 6$ :

\begin{align*} 11^2 + 6^2 - 14(11) + 4(6) =&\,\, \lambda\\[4mm] 121 + 36 - 154 + 24 =&\,\, \lambda\\[4mm] \lambda =&\,\, 27 \end{align*}

Therefore, the equation of the circle is:

\begin{align*} x^2 + y^2 - 14x + 4y = 27 \end{align*}

(Note: This is equivalent to the standard form $(x-7)^2+(y+2)^2=80$ .)

IAL 2025 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程