题目

Problem

Figure 1

Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation

y=\log_3(x+1)-\log_3x

The point $P(a,4)$ lies on the curve.

(a) Find the exact value of the constant $a$ .

(Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)

(4)

(b) Use the trapezium rule with $4$ strips of equal width to estimate the value of

\int_1^5(\log_3(x+1)-\log_3x)\,dx

giving the answer in the form $\log_3 k$ , where $k$ is a constant to be found.

(4)

\int_1^5(\log_3(x+1)-\log_3x)\,dx

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

点 $P(a,4)$ 在曲线上，所以把 $x=a$ ， $y=4$ 代入。再用对数减法公式合并。

答题过程

展开

Since $P(a,4)$ lies on the curve,

\begin{align*} \log_3(a+1)-\log_3a=4. \end{align*}

Using the subtraction law of logarithms,

\begin{align*} \log_3\left(\frac{a+1}{a}\right)=&\,4\\ \frac{a+1}{a}=&\,3^4\\ \frac{a+1}{a}=&\,81. \end{align*}

\begin{align*} a+1=&\,81a\\ 1=&\,80a\\ a=&\,\frac1{80}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

从 $1$ 到 $5$ 用 $4$ 条等宽梯形，所以宽度是 $1$ ，节点是 $1,2,3,4,5$ 。每个函数值都可以化成 $\log_3\frac{x+1}{x}$ ，最后用对数律合并。

答题过程

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The strip width is

\begin{align*} h=\frac{5-1}{4}=1. \end{align*}

The function is

\begin{align*} y=\log_3\left(\frac{x+1}{x}\right). \end{align*}

So the trapezium rule gives

\begin{align*} \text{Area} &\approx \frac12\left[ \log_3\frac21+\log_3\frac65\right.\\ &\,\hspace{2pt}\left. +2\left(\log_3\frac32 +\log_3\frac43 +\log_3\frac54\right)\right]. \end{align*}

Combine the logarithms:

\begin{align*} \text{Area} =&\,\frac12\log_3\left( \frac21\cdot\frac65\cdot \left(\frac32\right)^2 \left(\frac43\right)^2 \left(\frac54\right)^2 \right)\\ =&\,\frac12\log_3(225)\\ =&\,\log_3(15). \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} k=15. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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梯形法要更准确，就把区间分得更细。

答题过程

展开

Use more strips of smaller width.

IAL 2025 May A Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程