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IAL 2023 Jan Q8

A Level / Edexcel / P3

IAL 2023 Jan Paper · Question 8

题目

Problem

Find, in simplest form,

∫(2cos⁡x−sin⁡x)2 dx\int(2\cos x-\sin x)^2\,dx
(5)
题目中文翻译

求

∫(2cos⁡x−sin⁡x)2 dx\int(2\cos x-\sin x)^2\,dx

的最简形式。

解答

解法一

思路

展开

先展开平方，再分别处理三类项：sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x 可以用 sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x，而 cos⁡2x\cos^2x 和 sin⁡2x\sin^2x 要用 double angle 公式化成含 cos⁡2x\cos2x 的形式，之后就能直接积分。

答题过程

展开

First expand the square:

(2cos⁡x−sin⁡x)2= 4cos⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x.\begin{align*} (2\cos x-\sin x)^2 =&\,4\cos^2x-4\sin x\cos x+\sin^2x. \end{align*}

So

∫(2cos⁡x−sin⁡x)2 dx=∫(4cos⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x) dx.\int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =\int\left(4\cos^2x-4\sin x\cos x+\sin^2x\right)\,\mathrm{d}x.

Use

cos⁡2x=1+cos⁡2x2,sin⁡2x=1−cos⁡2x2,\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}, \qquad \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},

and

sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x.\sin x\cos x=\frac12\sin2x.

Then

4cos⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x= 4(1+cos⁡2x2)−4(12sin⁡2x) +1−cos⁡2x2= 2+2cos⁡2x−2sin⁡2x+12−12cos⁡2x= 52+32cos⁡2x−2sin⁡2x.\begin{align*} 4\cos^2x-4\sin x\cos x+\sin^2x =&\,4\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right) -4\left(\frac12\sin2x\right) \\[2mm] &\,\hspace{4pt}+\frac{1-\cos2x}{2} \\[2mm] =&\,2+2\cos2x-2\sin2x +\frac12-\frac12\cos2x \\[2mm] =&\,\frac52+\frac32\cos2x-2\sin2x. \end{align*}

Therefore

∫(2cos⁡x−sin⁡x)2 dx= ∫(52+32cos⁡2x−2sin⁡2x) dx= 52x+32⋅12sin⁡2x+cos⁡2x+C.\begin{align*} \int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =&\,\int\left(\frac52+\frac32\cos2x-2\sin2x\right)\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\frac52x+\frac32\cdot\frac12\sin2x +\cos2x+C. \end{align*}

Hence

∫(2cos⁡x−sin⁡x)2 dx=52x+34sin⁡2x+cos⁡2x+C.\boxed{ \int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =\frac52x+\frac34\sin2x+\cos2x+C }.