题目

Problem

Figure 1 shows the linear relationship between $\log_6T$ and $\log_6x$ .

The line passes through the points $(0,4)$ and $(2,0)$ as shown.

(a) (i) Find an equation linking $\log_6T$ and $\log_6x$

(ii) Hence find the exact value of $T$ when $x=216$

(3)

(b) Find an equation, not involving logs, linking $T$ with $x$

(3)

题目中文翻译

图 1 显示了 $\log_6T$ 与 $\log_6x$ 之间的线性关系。

该直线经过图中所示的点 $(0,4)$ 和 $(2,0)$ 。

(a) (i) 求连接 $\log_6T$ 与 $\log_6x$ 的方程。

(ii) 由此求当 $x=216$ 时 $T$ 的精确值。

(b) 求一个不含对数的、连接 $T$ 与 $x$ 的方程。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

图中的横坐标是 $\log_6x$ ，纵坐标是 $\log_6T$ 。先利用两点求直线斜率，再用纵截距写出直线方程。

答题过程

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The gradient of the line is

\frac{0-4}{2-0}=-2.

Its vertical intercept is $4$ . Therefore,

\boxed{\log_6T=4-2\log_6x}.

(a)(ii)

解法一

思路

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因为 $216=6^3$ ，所以 $\log_6 216=3$ 。把它代入上一小题所得的直线方程，再由对数形式还原出 $T$ 。

答题过程

展开

Since $216=6^3$ ,

\log_6 216=3.

Hence, using the result from part (a)(i),

\begin{align*} \log_6T=&\,4-2\log_6 216\\[4mm] =&\,4-2(3)=-2. \end{align*}

Therefore,

\boxed{T=6^{-2}=\frac{1}{36}}.

(b)

解法一

思路

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从 (a)(i) 的方程出发，把两边作为 $6$ 的指数。再使用 $6^{\log_6x}=x$ ，即可消去所有对数。

答题过程

展开

From part (a)(i),

\log_6T=4-2\log_6x.

Therefore,

\begin{align*} T=&\,6^{\,4-2\log_6x}\\[4mm] =&\,6^4\big(6^{\log_6x}\big)^{-2}\\[4mm] =&\,1296x^{-2}. \end{align*}

Hence an equation not involving logarithms is

\boxed{T=\frac{1296}{x^2}}.

IAL 2023 May Q2

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程