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IAL 2023 May Q3

A Level / Edexcel / P3

IAL 2023 May Paper · Question 3

题目

Problem

(i) Find

ddx(ln⁡(sin⁡23x))\frac{d}{dx}\left(\ln(\sin^2 3x)\right)

writing your answer in simplest form.

(2)

(ii) (a) Find

ddx(3x2−4)6\frac{d}{dx}(3x^2-4)^6
(2)

(b) Hence show that

∫02x(3x2−4)5 dx=R\int_0^{\sqrt{2}} x(3x^2-4)^5\,dx=R

where RR is an integer to be found.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(3)
题目中文翻译

(i) 求

ddx(ln⁡(sin⁡23x))\frac{d}{dx}\left(\ln(\sin^2 3x)\right)

并把答案写成最简形式。

(ii) (a) 求

ddx(3x2−4)6\frac{d}{dx}(3x^2-4)^6

(b) 由此证明

∫02x(3x2−4)5 dx=R\int_0^{\sqrt{2}} x(3x^2-4)^5\,dx=R

其中 RR 是需要求出的整数。

不接受依赖计算器技术的解法。

解答

(i)

解法一

思路

展开

把 sin⁡23x\sin^2 3x 看作对数函数的内部函数，连续使用链式法则，然后约去公共因子并写成余切。

答题过程

展开

Using the chain rule,

ddxln⁡(sin⁡23x)= 1sin⁡23x(2sin⁡3x)(3cos⁡3x)= 6cos⁡3xsin⁡3x= 6cot⁡3x.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln\big(\sin^2 3x\big) =&\,\frac{1}{\sin^2 3x} \big(2\sin 3x\big)\big(3\cos 3x\big)\\[4mm] =&\,6\frac{\cos 3x}{\sin 3x}\\[4mm] =&\,\boxed{6\cot 3x}. \end{align*}

解法二

思路

展开

先使用对数的幂法则。为兼顾完整定义域，把平方项写成 2ln⁡∣sin⁡3x∣2\ln|\sin 3x|，再求导。

答题过程

展开

On the domain of the original function,

ln⁡(sin⁡23x)=2ln⁡∣sin⁡3x∣.\ln\big(\sin^2 3x\big)=2\ln|\sin 3x|.

Hence,

ddxln⁡(sin⁡23x)= 2(3cos⁡3xsin⁡3x)= 6cot⁡3x.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln\big(\sin^2 3x\big) =&\,2\bigg(\frac{3\cos 3x}{\sin 3x}\bigg)\\[4mm] =&\,\boxed{6\cot 3x}. \end{align*}

解法三

思路

展开

利用 sin⁡23x=1−cos⁡6x2\sin^2 3x=\dfrac{1-\cos 6x}{2}，把被求导式改写成双角形式，再用恒等式化简。

答题过程

展开

Since

sin⁡23x=1−cos⁡6x2,\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2},

we have

ddxln⁡(1−cos⁡6x2)= 6sin⁡6x1−cos⁡6x= 12sin⁡3xcos⁡3x2sin⁡23x= 6cot⁡3x.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln\bigg(\frac{1-\cos 6x}{2}\bigg) =&\,\frac{6\sin 6x}{1-\cos 6x}\\[4mm] =&\,\frac{12\sin 3x\cos 3x}{2\sin^2 3x}\\[4mm] =&\,\boxed{6\cot 3x}. \end{align*}

(ii)(a)

解法一

思路

展开

直接使用链式法则：先把六次方降幂，再乘以内层 3x2−43x^2-4 的导数。

答题过程

展开 ddx(3x2−4)6= 6(3x2−4)5(6x)= 36x(3x2−4)5.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \big(3x^2-4\big)^6 =&\,6\big(3x^2-4\big)^5(6x)\\[4mm] =&\,\boxed{36x\big(3x^2-4\big)^5}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先用二项式定理展开六次方，再逐项求导。这条路线计算较长，但能独立验证链式法则所得结果。

答题过程

展开

Expanding first,

(3x2−4)6= 729x12−5832x10+19440x8 −34560x6+34560x4 −18432x2+4096.\begin{align*} \big(3x^2-4\big)^6 =&\,729x^{12}-5832x^{10}+19440x^8\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-34560x^6+34560x^4\\[4mm] &\,\hspace{4pt}-18432x^2+4096. \end{align*}

Therefore,

ddx(3x2−4)6= 8748x11−58320x9+155520x7 −207360x5+138240x3 −36864x.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \big(3x^2-4\big)^6 =&\,8748x^{11}-58320x^9+155520x^7\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-207360x^5+138240x^3\\[4mm] &\,\hspace{4pt}-36864x. \end{align*}

This is the expanded form of

36x(3x2−4)5.\boxed{36x\big(3x^2-4\big)^5}.

(ii)(b)

解法一

思路

展开

承接 (ii)(a)，被积函数正好是导数 36x(3x2−4)536x(3x^2-4)^5 的 136\dfrac{1}{36}。因此可立即写出原函数，再代入题目给出的上下限。

答题过程

展开

From part (ii)(a),

ddx(3x2−4)6=36x(3x2−4)5.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \big(3x^2-4\big)^6 =36x\big(3x^2-4\big)^5.

Hence,

∫x(3x2−4)5 dx=136(3x2−4)6+C.\int x\big(3x^2-4\big)^5\,\mathrm{d}x =\frac{1}{36}\big(3x^2-4\big)^6+C.

Therefore,

∫02x(3x2−4)5 dx= [136(3x2−4)6]02= 136[(3(2)2−4)6−(−4)6]= 136(26−46)= −112.\begin{align*} \int_0^{\sqrt{2}} x\big(3x^2-4\big)^5\,\mathrm{d}x =&\,\Bigg[ \frac{1}{36}\big(3x^2-4\big)^6 \Bigg]_0^{\sqrt{2}}\\[4mm] =&\,\frac{1}{36} \Big[ \big(3(\sqrt{2})^2-4\big)^6-(-4)^6 \Big]\\[4mm] =&\,\frac{1}{36}\big(2^6-4^6\big)\\[4mm] =&\,-112. \end{align*}

Thus,

R=−112.\boxed{R=-112}.

解法二

思路

展开

把被积函数完整展开后逐项积分。这是官方评分资料允许的替代路线，计算较长，最后仍需准确代入 00 与 2\sqrt{2}。

答题过程

展开

Expanding the integrand gives

x(3x2−4)5= 243x11−1620x9+4320x7 −5760x5+3840x3−1024x.\begin{align*} x\big(3x^2-4\big)^5 =&\,243x^{11}-1620x^9+4320x^7\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-5760x^5+3840x^3-1024x. \end{align*}

Therefore,

∫x(3x2−4)5 dx= 814x12−162x10+540x8 −960x6+960x4−512x2+C.\begin{align*} \int x\big(3x^2-4\big)^5\,\mathrm{d}x =&\,\frac{81}{4}x^{12}-162x^{10}+540x^8\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-960x^6+960x^4-512x^2+C. \end{align*}

At x=2x=\sqrt{2}, use x2=2x^2=2, x4=4x^4=4, x6=8x^6=8, x8=16x^8=16, x10=32x^{10}=32 and x12=64x^{12}=64. Hence,

∫02x(3x2−4)5 dx= 814(64)−162(32)+540(16) −960(8)+960(4)−512(2)= −112.\begin{align*} \int_0^{\sqrt{2}} x\big(3x^2-4\big)^5\,\mathrm{d}x =&\,\frac{81}{4}(64)-162(32)+540(16)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-960(8)+960(4)-512(2)\\[4mm] =&\,-112. \end{align*}

Thus,

R=−112.\boxed{R=-112}.