函数 $f$ 定义为

(a) 写出 $f$ 的值域。

下一页上有一个标记为 Diagram 1 的图，给出了曲线 $y=f(x)$ 的示意图。

(b) 在 Diagram 1 上画出曲线 $y=f^{-1}(x)$ 的示意图。

曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=f^{-1}(x)$ 相交于点 $P$。

(c) 用代数方法并写出过程，求点 $P$ 的 $x$ 坐标的精确值。

由于定义域是 $x\ge 0$，所以 $x^2$ 的最小值是 0。函数 $f(x)=2x^2-5$ 的最小值出现在 $x=0$。

Since

we have

Therefore

So the range of $f$ is

反函数图像是原图像关于直线 $y=x$ 的对称图像。原图像从 $(0,-5)$ 开始，所以反函数图像从 $(-5,0)$ 开始；它应该在第一、第二象限，并且随着 $x$ 增大而上升，但斜率逐渐减小。

The curve $y=f^{-1}(x)$ is the reflection of $y=f(x)$ in the line

So the sketch should start at

because the point $(0,-5)$ on $y=f(x)$ is reflected to $(-5,0)$.

The curve should then pass through the positive $y$-axis, lie in quadrants 1 and 2 only, and have decreasing gradient.

函数 $f$ 是递增的一一函数，所以 $y=f(x)$ 和 $y=f^{-1}(x)$ 的交点在直线 $y=x$ 上。于是令 $f(x)=x$，解二次方程，并用 $x\ge0$ 排除负根。

At the intersection of $y=f(x)$ and $y=f^{-1}(x)$, the point lies on the line

So we solve

Since

we have

Rearrange:

Using the quadratic formula,

The $x$-coordinate of a point on $y=f(x)$ must satisfy $x\ge0$, so we reject the negative root.

Therefore the exact $x$ coordinate of $P$ is