一条曲线的方程为 $y=f(x)$，其中

(a) 证明方程 $f(x)=0$ 在区间 $[1,2]$ 内有一个根 $\alpha$。

使用迭代公式

且 $x_1=1$，来求根 $\alpha$ 的近似值。

(b) (i) 求 $x_2$ 的值，精确到小数点后 4 位。

(ii) 用重复迭代求 $\alpha$ 的值，答案精确到小数点后 4 位。

分别计算区间两个端点处的函数值并比较符号。由于多项式函数与指数函数都连续，$f$ 在 $[1,2]$ 上连续；若端点函数值异号，便可由介值定理证明区间内存在根。

At the endpoints of the interval,

whereas

The function $f$ is continuous on $[1,2]$. Since $f(1)$ and $f(2)$ have opposite signs, there is a root $\alpha$ in $[1,2]$ by the Intermediate Value Theorem.

把初值 $x_1=1$ 代入题目给出的正确迭代公式，直接计算 $x_2$。

Using $x_1=1$,

Therefore, to $4$ decimal places,

继续使用同一迭代公式。必须展示若干次迭代，而不能只给出计算器产生的最终值；当连续迭代值精确到小数点后 4 位均为同一个数时，即可写出近似根。

Repeated use of

gives

The iterates have converged to the same value to $4$ decimal places. Hence,