题目
Problem
The function f is defined by
f(x)=x−4x+3x∈R, x=4
(a) Find ff(6)
(2)
(b) Find f−1
(3)
The function g is defined by
g(x)=x2+5x∈R, x>0
(c) Find the exact value of a for which
gf(a)=7
(3)
题目中文翻译
函数 f 定义为
f(x)=x−4x+3x∈R, x=4
(a) 求 ff(6)。
(b) 求 f−1。
函数 g 定义为
g(x)=x2+5x∈R, x>0
(c) 求满足
gf(a)=7
的 a 的精确值。
解答
(a)
解法一
思路
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ff(6) 表示 f(f(6))。先求内层函数值，再把结果代入外层的 f。
答题过程
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First,
f(6)=6−46+3=29.
Therefore,
ff(6)====f(29)29−429+32121515.
Hence,
ff(6)=15.
(b)
解法一
思路
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令 y=f(x)，交换 x 与 y 的角色并把原来的 x 表示成 y 的函数。反函数的定义域是原函数的值域，因此还要排除原函数不可能取得的值 1。
答题过程
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Let
y=x−4x+3.
Then,
y(x−4)=yx−4y=x(y−1)=x=x+3x+34y+3y−14y+3.
Interchanging x and y gives
f−1(x)=x−14x+3,x∈R, x=1.
(c)
解法一
思路
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先展开复合函数 g(f(a))。由于 g 的定义域规定输入必须大于零，所以从 f(a)2=2 取平方根时只能保留 f(a)=2，再解所得分式方程。
答题过程
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Since
g(f(a))=7,
we have
(f(a))2+5=7.
The domain of g requires f(a)>0. Therefore,
f(a)=2,
so
a−4a+3=2.
Hence,
a+3=a(2−1)=a===2(a−4)3+422−13+42(3+42)(2+1)11+72.
Therefore,
a=11+72.
解法二
思路
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官方评分资料也接受先由 g(f(a))=7 求出合法的中间值 f(a)=2，再直接使用 (b) 的反函数求 a。这条路线更能体现前后小题的联系。
答题过程
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As in the first method, the domain of g gives
f(a)=2.
Applying the inverse function found in part (b),
a====f−1(2)2−142+3(2−1)(2+1)(42+3)(2+1)11+72.
Hence,
a=11+72.
