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IAL 2023 Oct Q5

A Level / Edexcel / P3

IAL 2023 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

The curve CC has equation

y=ln⁡(x2+k)x2+kx∈Ry=\frac{\ln(x^2+k)}{x^2+k}\qquad x\in\mathbb{R}

where kk is a positive constant.

(a) Show that

dydx=Ax(B−ln⁡(x2+k))(x2+k)2\frac{dy}{dx} =\frac{Ax\bigl(B-\ln(x^2+k)\bigr)}{(x^2+k)^2}

where AA and BB are constants to be found.

(3)

Given that CC has exactly three turning points,

(b) find the xx coordinate of each of these points. Give your answer in terms of kk where appropriate.

(3)

(c) find the upper limit to the value for kk.

(1)
题目中文翻译

曲线 CC 的方程为

y=ln⁡(x2+k)x2+kx∈Ry=\frac{\ln(x^2+k)}{x^2+k}\qquad x\in\mathbb{R}

其中 kk 是正常数。

(a) 证明

dydx=Ax(B−ln⁡(x2+k))(x2+k)2\frac{dy}{dx} =\frac{Ax\bigl(B-\ln(x^2+k)\bigr)}{(x^2+k)^2}

其中 AA 和 BB 是需要求出的常数。

已知 CC 恰有三个转折点。

(b) 求这些点各自的 xx 坐标；适当时用 kk 表示答案。

(c) 求 kk 的上界。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把分子 ln⁡(x2+k)\ln(x^2+k) 与分母 x2+kx^2+k 分别看作两个函数，使用商法则。分子的导数需要用链式法则，整理时再从分子提取公因式 2x2x，自然得到题目要求的形式。

答题过程

展开

Using the quotient rule,

dydx= (x2+k)2xx2+k−2xln⁡(x2+k)(x2+k)2= 2x−2xln⁡(x2+k)(x2+k)2= 2x(1−ln⁡(x2+k))(x2+k)2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{ (x^2+k)\dfrac{2x}{x^2+k} -2x\ln(x^2+k) }{(x^2+k)^2}\\[4mm] =&\,\frac{2x-2x\ln(x^2+k)} {(x^2+k)^2}\\[4mm] =&\,\frac{ 2x\bigl(1-\ln(x^2+k)\bigr) }{(x^2+k)^2}. \end{align*}

This is of the required form

dydx=Ax(B−ln⁡(x2+k))(x2+k)2.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{Ax\bigl(B-\ln(x^2+k)\bigr)} {(x^2+k)^2}.

Hence,

A=2,B=1.\boxed{A=2,\qquad B=1}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受乘积法则。先把函数写成 ln⁡(x2+k)(x2+k)−1\ln(x^2+k)(x^2+k)^{-1}，分别对两个因子求导，再通分并提取 2x2x。

答题过程

展开

Write

y=ln⁡(x2+k)(x2+k)−1.y=\ln(x^2+k)(x^2+k)^{-1}.

Using the product rule,

dydx= 2xx2+k(x2+k)−1 −2xln⁡(x2+k)(x2+k)−2= 2x(x2+k)2−2xln⁡(x2+k)(x2+k)2= 2x(1−ln⁡(x2+k))(x2+k)2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{2x}{x^2+k}(x^2+k)^{-1}\\[4mm] &\,-2x\ln(x^2+k)(x^2+k)^{-2}\\[4mm] =&\,\frac{2x}{(x^2+k)^2} -\frac{2x\ln(x^2+k)}{(x^2+k)^2}\\[4mm] =&\,\frac{ 2x\bigl(1-\ln(x^2+k)\bigr) }{(x^2+k)^2}. \end{align*}

Therefore,

A=2,B=1.\boxed{A=2,\qquad B=1}.

(b)

解法一

思路

展开

转折点必为驻点，所以令导数等于零。由于 k>0k>0，分母始终为正，因此只需令分子等于零，并分别处理 x=0x=0 与对数因子等于零的情况。

答题过程

展开

At a turning point,

dydx=0.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.

Since k>0k>0, the denominator (x2+k)2(x^2+k)^2 is always positive. Hence,

2x(1−ln⁡(x2+k))=0.2x\bigl(1-\ln(x^2+k)\bigr)=0.

Therefore,

x=0x=0

or

1−ln⁡(x2+k)= 0ln⁡(x2+k)= 1x2+k= ex2= e−k.\begin{align*} 1-\ln(x^2+k)=&\,0\\[4mm] \ln(x^2+k)=&\,1\\[4mm] x^2+k=&\,e\\[4mm] x^2=&\,e-k. \end{align*}

The three xx coordinates are therefore

x=−e−k,0,e−k.\boxed{x=-\sqrt{e-k},\quad 0,\quad \sqrt{e-k}}.

(c)

解法一

思路

展开

要有三个不同的转折点，(b) 中的两个平方根必须为非零实数，因此根号内必须严格大于零。等号不能取，否则三个驻点会合并成一个。

答题过程

展开

For the two non-zero turning points to be real and distinct,

e−k>0.e-k>0.

Thus,

k<e.k<e.

Since kk is positive, the permitted range is 0<k<e0<k<e. Therefore, the upper limit of kk is

e.\boxed{e}.