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IAL 2023 Oct Q7

A Level / Edexcel / P3

IAL 2023 Oct Paper · Question 7

题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of the curve CC with equation y=f(x)y=f(x) where

f(x)=e−x2(2x2−3)2f(x)=e^{-x^2}(2x^2-3)^2

(a) Find the range of ff

(2)

(b) Show that

f′(x)=2x(2x2−3)e−x2(A−Bx2)f'(x)=2x(2x^2-3)e^{-x^2}(A-Bx^2)

where AA and BB are constants to be found.

(4)

Given that the line y=ky=k, where kk is a constant, k>0k>0, intersects the curve at exactly two distinct points,

(c) find the exact range of values of kk

(4)
题目中文翻译

图 1 给出了曲线 CC 的示意图，其方程为 y=f(x)y=f(x)，其中

f(x)=e−x2(2x2−3)2f(x)=e^{-x^2}(2x^2-3)^2

(a) 求 ff 的值域。

(b) 证明

f′(x)=2x(2x2−3)e−x2(A−Bx2)f'(x)=2x(2x^2-3)e^{-x^2}(A-Bx^2)

其中 AA 和 BB 是需要求出的常数。

已知直线 y=ky=k（其中 kk 为常数且 k>0k>0）与曲线恰有两个不同交点。

(c) 求 kk 的取值范围。

解答

(a)

解法一

思路

展开

函数由两个非负因子相乘，所以函数值不会小于零。结合题图可见，曲线在 x=0x=0 处达到最高点；分别求出最低值和最高值即可写出值域。

答题过程

展开

Since e−x2>0e^{-x^2}>0 and (2x2−3)2⩾0(2x^2-3)^2\geqslant 0,

f(x)⩾0.f(x)\geqslant 0.

Also,

f(0)=e0(−3)2=9.f(0)=e^0(-3)^2=9.

From the given sketch, this is the maximum value of ff. The minimum value 00 is attained when

2x2−3=0.2x^2-3=0.

Therefore, the range of ff is

0⩽f(x)⩽9.\boxed{0\leqslant f(x)\leqslant 9}.

(b)

解法一

思路

展开

把 f(x)f(x) 看作 e−x2e^{-x^2} 与 (2x2−3)2(2x^2-3)^2 的乘积，使用乘积法则；对两个因子分别求导时都要使用链式法则。最后提取题目指定的公因式。

答题过程

展开

Using the product rule and the chain rule,

f′(x)= −2xe−x2(2x2−3)2+e−x2(2(2x2−3)(4x))= −2xe−x2(2x2−3)2+8xe−x2(2x2−3)= 2x(2x2−3)e−x2(−(2x2−3)+4)= 2x(2x2−3)e−x2(7−2x2).\begin{align*} f'(x) =&\,-2xe^{-x^2}(2x^2-3)^2 +e^{-x^2}\bigl(2(2x^2-3)(4x)\bigr)\\[4mm] =&\,-2xe^{-x^2}(2x^2-3)^2 +8xe^{-x^2}(2x^2-3)\\[4mm] =&\,2x(2x^2-3)e^{-x^2} \bigl(-(2x^2-3)+4\bigr)\\[4mm] =&\,2x(2x^2-3)e^{-x^2}(7-2x^2). \end{align*}

Hence,

A=7,B=2.\boxed{A=7,\qquad B=2}.

(c)

解法一

思路

展开

水平直线与曲线的交点数取决于各个极大值的高度。先由 (b) 的导函数求出非零驻点，再计算两侧较低极大值的函数值。要恰有两个交点，kk 必须严格位于两侧极大值与中央最高点之间。

答题过程

展开

From part (b),

f′(x)=2x(2x2−3)e−x2(7−2x2).f'(x)=2x(2x^2-3)e^{-x^2}(7-2x^2).

Since e−x2≠0e^{-x^2}\neq 0, the stationary points satisfy

x=0,x2=32,x2=72.x=0,\qquad x^2=\frac32,\qquad x^2=\frac72.

At the two outer local maxima, where x2=72x^2=\dfrac72,

f(x)= e−7/2(2(72)−3)2= e−7/2(7−3)2= 16e−7/2.\begin{align*} f(x) =&\,e^{-7/2}\left(2\left(\frac72\right)-3\right)^2\\[4mm] =&\,e^{-7/2}(7-3)^2\\[4mm] =&\,16e^{-7/2}. \end{align*}

The central maximum has value f(0)=9f(0)=9. Hence the line y=ky=k intersects the curve at exactly two distinct points when it lies above both outer local maxima and below the central maximum.

Therefore,

16e−7/2<k<9.\boxed{16e^{-7/2}<k<9}.