题目
Problem
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Figure 2 shows a sketch of the curve with equation
y=∣2−4ln(x+1)∣x>k
where k is a constant.
Given that the curve
• has an asymptote at x=k
• cuts the y-axis at point A
• meets the x-axis at point B
as shown in Figure 2,
(a) state the value of k
(1)
(b) (i) find the y coordinate of A
(ii) find the exact x coordinate of B
(3)
(c) Using algebra and showing your working, find the set of values of x such that
∣2−4ln(x+1)∣>3
(5)
题目中文翻译
本题中你必须写出解题过程的所有步骤。
不接受依赖计算器技术的解法。
图 2 给出了曲线
y=∣2−4ln(x+1)∣x>k
的示意图，其中 k 为常数。
已知该曲线
• 在 x=k 处有一条渐近线
• 与 y 轴交于点 A
• 与 x 轴交于点 B
如图 2 所示。
(a) 写出 k 的值。
(b) (i) 求点 A 的 y 坐标。
(ii) 求点 B 的 x 坐标的精确值。
(c) 用代数方法并写出过程，求满足
∣2−4ln(x+1)∣>3
的 x 的取值集合。
解答
(a)
解法一
思路
展开
对数 ln(x+1) 的定义域要求 x+1>0，其边界 x=−1 正是竖直渐近线的位置。
答题过程
展开
For ln(x+1) to be defined,
x+1>0,
so x>−1. As x→−1+, ln(x+1)→−∞, and therefore the vertical asymptote is x=−1.
Hence,
k=−1.
(b)(i)
解法一
思路
展开
点 A 在 y 轴上，所以令 x=0 并代入函数。
答题过程
展开
At the y-axis, x=0. Therefore,
f(0)===2−4ln(0+1)∣2−4ln1∣2.
Thus the y coordinate of A is
2.
(b)(ii)
解法一
思路
展开
点 B 在 x 轴上，因此函数值为零。绝对值等于零时，绝对值内部也必须等于零。
答题过程
展开
At B, y=0, so
2−4ln(x+1)=0.
Therefore,
2−4ln(x+1)=ln(x+1)=x+1=021e1/2.
Hence the exact x coordinate of B is
x=e1/2−1=e−1.
(c)
解法一
思路
展开
利用 ∣u∣>3 等价于 u>3 或 u<−3，分别解两个对数不等式。最后还必须与原函数的定义域 x>−1 取交集。
答题过程
展开
The inequality
2−4ln(x+1)>3
is equivalent to
2−4ln(x+1)>3
or
2−4ln(x+1)<−3.
For the first inequality,
2−4ln(x+1)>−4ln(x+1)>ln(x+1)<x+1<x<31−41e−1/4e−1/4−1.
Combining this with the domain x>−1 gives
−1<x<e−1/4−1.
For the second inequality,
2−4ln(x+1)<−4ln(x+1)<ln(x+1)>x+1>x>−3−545e5/4e5/4−1.
Therefore, the required set of values is
−1<x<e−1/4−1orx>e5/4−1.
