一条曲线的方程为 $y=f(x)$，其中

(a) 证明方程 $f(x)=0$ 在区间 $[2,3]$ 内有一个根 $\alpha$。

(b) 证明方程 $f(x)=0$ 可写成

的形式。

用下列迭代公式求 $\alpha$：

(c) 取 $x_1=2$ 并使用该迭代公式，

(i) 求 $x_2$ 的值，精确到小数点后 4 位；

(ii) 求 $\alpha$ 的值，精确到小数点后 4 位。

分别计算区间两个端点处的函数值。多项式函数连续；若端点函数值异号，便可由介值定理得出区间内至少有一个根。

Since $f$ is a polynomial, it is continuous on $[2,3]$.

At the endpoints,

and

There is a change of sign between $x=2$ and $x=3$. Therefore, by the Intermediate Value Theorem, the equation $f(x)=0$ has a root $\alpha$ in $[2,3]$.

从 $f(x)=0$ 出发，把 $x^4$ 单独留在一边，再除以 $x$ 并取立方根。由于所求根位于 $[2,3]$，所以 $x\neq 0$，除以 $x$ 是合法的。

Starting from $f(x)=0$,

Therefore,

For the root in $[2,3]$, $x\neq 0$, so division by $x$ gives

Taking the cube root of both sides,

将初值 $x_1=2$ 直接代入给定的迭代公式，计算下一项 $x_2$。

Using $x_1=2$,

Therefore, to $4$ decimal places,

继续反复应用同一个迭代公式，直到相邻迭代值在小数点后四位保持不变。

Continuing the iteration gives

The values converge to

Therefore, to $4$ decimal places,