题目

Problem

The amount of money raised for a charity is being monitored.

The total amount raised in the $t$ months after monitoring began, £ $D$ , is modelled by the equation

\log_{10}D=1.04+0.38t

(a) Write this equation in the form

D=ab^t

where $a$ and $b$ are constants to be found. Give each value to 4 significant figures.

(3)

When $t=T$ , the total amount of money raised is £45000

According to the model,

(b) find the value of $T$ , giving your answer to 3 significant figures.

(2)

The charity aims to raise a total of £350000 within the first 12 months of monitoring.

According to the model,

(2)

题目中文翻译

某慈善机构筹得的款项正在被监测。

监测开始后 $t$ 个月，累计筹得的总金额 £ $D$ 满足模型方程

\log_{10}D=1.04+0.38t

(a) 将此方程写成

D=ab^t

的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是需要求出的常数。两个值都精确到 4 位有效数字。

当 $t=T$ 时，筹得的总金额为 £45000。

根据该模型，

(b) 求 $T$ 的值，答案精确到 3 位有效数字。

该慈善机构的目标是在监测开始后的前 12 个月内筹得总计 £350000。

根据该模型，

解答

(a)

解法一

思路

展开

把常用对数方程两边以 $10$ 为底取指数，再利用指数律把含 $t$ 的部分写成某个常数的 $t$ 次方。

答题过程

展开

From

\log_{10}D=1.04+0.38t,

we obtain

\begin{align*} D=&\,10^{1.04+0.38t} \\[2mm] =&\,10^{1.04}\big(10^{0.38}\big)^t. \end{align*}

Now

10^{1.04}=10.9647\ldots

and

10^{0.38}=2.39883\ldots.

Therefore, to $4$ significant figures,

\boxed{D=10.96(2.399)^t},

so $a=10.96$ and $b=2.399$ .

(b)

解法一

思路

展开

直接把 $D=45000$ 代回题目给出的对数模型，可以避免受到 (a) 中四舍五入数值的影响。

答题过程

展开

Substituting $D=45000$ and $t=T$ into the model gives

\log_{10}45000=1.04+0.38T.

Hence

\begin{align*} T=&\,\frac{\log_{10}45000-1.04}{0.38} \\[2mm] =&\,9.50845\ldots. \end{align*}

Therefore, to $3$ significant figures,

\boxed{T=9.51\text{ months}}.

(c)

解法一

思路

展开

计算 $t=12$ 时模型预测的累计金额，并与目标 £350000 比较。因为模型中的金额随 $t$ 增大，所以第 12 个月时达到或超过目标，就表示能在前 12 个月内完成目标。

答题过程

展开

At $t=12$ ,

\begin{align*} \log_{10}D=&\,1.04+0.38(12) \\[2mm] =&\,5.60. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} D=&\,10^{5.60} \\[2mm] =&\,398107.17\ldots. \end{align*}

Since

398107.17\ldots>350000,

the charity is predicted to raise more than £350000 by the end of the first $12$ months. Hence,

\boxed{\text{the charity will achieve its aim}.}

IAL 2024 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程