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IAL 2024 Jan Q4

A Level / Edexcel / P3

IAL 2024 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

The function ff is defined by

f(x)=2x2−323x2+7x−20+83x−5x∈R, x>2f(x)=\frac{2x^2-32}{3x^2+7x-20}+\frac{8}{3x-5}\qquad x\in\mathbb{R},\ x>2

(a) Show that f(x)=2x3x−5f(x)=\dfrac{2x}{3x-5}

(3)

(b) Show, using calculus, that ff is a decreasing function. You must make your reasoning clear.

(3)

The function gg is defined by

g(x)=3+2ln⁡xx≥1g(x)=3+2\ln x\qquad x\geq 1

(c) Find g−1g^{-1}

(3)

(d) Find the exact value of aa for which

gf(a)=5gf(a)=5
(4)
题目中文翻译

函数 ff 定义为

f(x)=2x2−323x2+7x−20+83x−5x∈R, x>2f(x)=\frac{2x^2-32}{3x^2+7x-20}+\frac{8}{3x-5}\qquad x\in\mathbb{R},\ x>2

(a) 证明 f(x)=2x3x−5f(x)=\dfrac{2x}{3x-5}。

(b) 使用微积分证明 ff 是减函数。你必须清楚说明你的推理。

函数 gg 定义为

g(x)=3+2ln⁡xx≥1g(x)=3+2\ln x\qquad x\geq 1

(c) 求 g−1g^{-1}。

(d) 求满足

gf(a)=5gf(a)=5

的 aa 的精确值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把二次式 3x2+7x−203x^2+7x-20 因式分解。这样两个分式会出现共同因子 3x−53x-5，通分后即可约去 x+4x+4。

答题过程

展开

Since

3x2+7x−20=(3x−5)(x+4),3x^2+7x-20=(3x-5)(x+4),

we have

f(x)= 2(x−4)(x+4)(3x−5)(x+4)+83x−5= 2(x−4)+83x−5= 2x3x−5.\begin{align*} f(x)=&\,\frac{2(x-4)(x+4)} {(3x-5)(x+4)} +\frac{8}{3x-5} \\[2mm] =&\,\frac{2(x-4)+8}{3x-5} \\[2mm] =&\,\frac{2x}{3x-5}. \end{align*}

Hence,

f(x)=2x3x−5.\boxed{f(x)=\frac{2x}{3x-5}}.

(b)

解法一

思路

展开

对 (a) 中得到的简式使用商法则求导。要证明函数递减，不仅要得到导数为负，还要结合定义域 x>2x>2 说明分母恒为正。

答题过程

展开

Using the quotient rule,

f′(x)= 2(3x−5)−3(2x)(3x−5)2= −10(3x−5)2.\begin{align*} f'(x)=&\,\frac{2(3x-5)-3(2x)} {(3x-5)^2} \\[2mm] =&\,-\frac{10}{(3x-5)^2}. \end{align*}

For x>2x>2, we have (3x−5)2>0(3x-5)^2>0. Therefore

f′(x)<0.f'(x)<0.

Hence ff is a decreasing function on its domain.

(c)

解法一

思路

展开

令 y=g(x)y=g(x)，交换 xx 与 yy 后解出 yy。原函数在 x≥1x\geq 1 上的值域是 [3,∞)[3,\infty)，因此这也是反函数的定义域。

答题过程

展开

Let

y=3+2ln⁡x.y=3+2\ln x.

Interchanging xx and yy gives

x=3+2ln⁡y.x=3+2\ln y.

Therefore,

ln⁡y= x−32,y= ex−32.\begin{align*} \ln y=&\,\frac{x-3}{2}, \\[2mm] y=&\,e^{\frac{x-3}{2}}. \end{align*}

Since the range of gg is [3,∞)[3,\infty),

g−1(x)=ex−32,x≥3.\boxed{g^{-1}(x)=e^{\frac{x-3}{2}},\qquad x\geq 3}.

(d)

解法一

思路

展开

把 (a) 的 f(a)f(a) 代入 gg，直接建立关于 aa 的方程。解出对数后，保留 ee 的形式以得到精确值。

答题过程

展开

Using the result from part (a),

g(f(a))=3+2ln⁡(2a3a−5).g\big(f(a)\big) =3+2\ln\bigg(\frac{2a}{3a-5}\bigg).

Hence

3+2ln⁡(2a3a−5)= 5,ln⁡(2a3a−5)= 1,2a3a−5= e.\begin{align*} 3+2\ln\bigg(\frac{2a}{3a-5}\bigg)=&\,5, \\[2mm] \ln\bigg(\frac{2a}{3a-5}\bigg)=&\,1, \\[2mm] \frac{2a}{3a-5}=&\,e. \end{align*}

Therefore,

2a= 3ae−5e,a(3e−2)= 5e,\begin{align*} 2a=&\,3ae-5e, \\[2mm] a(3e-2)=&\,5e, \end{align*}

so

a=5e3e−2.\boxed{a=\frac{5e}{3e-2}}.

This value satisfies a>2a>2, so it lies in the domain of ff.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受利用 (c) 的反函数。对 g(f(a))=5g(f(a))=5 两边作用 g−1g^{-1}，先求出 f(a)f(a)，再解有理方程。

答题过程

展开

Applying g−1g^{-1} to both sides of

g(f(a))=5g\big(f(a)\big)=5

gives

f(a)=g−1(5).f(a)=g^{-1}(5).

Using the results from parts (a) and (c),

2a3a−5=e5−32=e.\frac{2a}{3a-5} =e^{\frac{5-3}{2}} =e.

Thus

2a= e(3a−5),a(3e−2)= 5e,\begin{align*} 2a=&\,e(3a-5), \\[2mm] a(3e-2)=&\,5e, \end{align*}

and hence

a=5e3e−2.\boxed{a=\frac{5e}{3e-2}}.