题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The graph shown in Figure 2 has equation

y=a-|2x-b|

where $a$ and $b$ are positive constants, $a>b$

(a) Find, giving your answer in terms of $a$ and $b$ ,

(i) the coordinates of the maximum point of the graph,

(ii) the coordinates of the point of intersection of the graph with the $y$ -axis,

(iii) the coordinates of the points of intersection of the graph with the $x$ -axis.

(5)

On page 24 there is a copy of Figure 2 called Diagram 1.

(b) On Diagram 1, sketch the graph with equation

y=|x|-1

(2)

Given that the graphs $y=|x|-1$ and $y=a-|2x-b|$ intersect at $x=-3$ and $x=5$

(4)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

图 2 所示图像的方程为

y=a-|2x-b|

其中 $a$ 和 $b$ 是正常数，且 $a>b$ 。

(a) 用 $a$ 和 $b$ 表示，求

(i) 图像最高点的坐标；

(ii) 图像与 $y$ 轴交点的坐标；

(iii) 图像与 $x$ 轴交点的坐标。

第 24 页给出了图 2 的副本，称为 Diagram 1。

(b) 在 Diagram 1 上画出方程

y=|x|-1

对应的图像草图。

已知图像 $y=|x|-1$ 与 $y=a-|2x-b|$ 在 $x=-3$ 和 $x=5$ 处相交，

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

由于绝对值恒为非负数， $a-|2x-b|$ 在绝对值部分等于零时取得最大值。令 $2x-b=0$ 即可求出顶点。

答题过程

展开

The maximum value occurs when

|2x-b|=0.

Thus,

2x-b=0,

so $x=\dfrac b2$ and $y=a$ . Therefore, the maximum point is

\boxed{\bigg(\frac b2,a\bigg)}.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

与 $y$ 轴相交时 $x=0$ 。代入后利用 $b>0$ 化简绝对值。

答题过程

展开

At the $y$ -axis, $x=0$ . Hence,

\begin{align*} y=&\,a-|2(0)-b|\\[4mm] =&\,a-|-b|\\[4mm] =&\,a-b, \end{align*}

since $b>0$ . Therefore, the point of intersection with the $y$ -axis is

\boxed{(0,a-b)}.

(a)(iii)

解法一

思路

展开

与 $x$ 轴相交时 $y=0$ ，所以绝对值等于 $a$ 。分别处理绝对值内部等于 $a$ 与 $-a$ 的两种情况。

答题过程

展开

At the $x$ -axis, $y=0$ , so

a-|2x-b|=0.

Therefore,

|2x-b|=a,

which gives

2x-b=a \qquad\text{or}\qquad 2x-b=-a.

Thus,

x=\frac{a+b}{2} \qquad\text{or}\qquad x=\frac{b-a}{2}.

Hence the points of intersection with the $x$ -axis are

\boxed{ \bigg(\frac{b-a}{2},0\bigg) \quad\text{and}\quad \bigg(\frac{a+b}{2},0\bigg) }.

(b)

解法一

思路

展开

$y=|x|-1$ 是开口向上的 V 形图像，关于 $y$ 轴对称，顶点为 $(0,-1)$ ，并经过 $(-1,0)$ 与 $(1,0)$ 。应把它画在题目已有的倒 V 形图像上。

答题过程

展开

The graph of $y=|x|-1$ is V-shaped, symmetric about the $y$ -axis, with:

\text{vertex }(0,-1)

and $x$ -intercepts

(-1,0) \qquad\text{and}\qquad (1,0).

It should be sketched on the same axes as the graph of $y=a-|2x-b|$ .

(c)

解法一

思路

展开

先用 $y=|x|-1$ 求出两个交点的纵坐标，再代入另一条曲线。由 $x=-3$ 可直接得到 $a-b=8$ ；在 $x=5$ 处保留绝对值并分情况，即可排除不相容的分支。

答题过程

展开

At $x=-3$ ,

y=|-3|-1=2.

Therefore,

\begin{align*} 2=&\,a-|2(-3)-b|\\[4mm] =&\,a-|-6-b|\\[4mm] =&\,a-(6+b), \end{align*}

since $b>0$ . Hence,

a-b=8.

At $x=5$ ,

y=|5|-1=4.

Thus,

\begin{align*} 4=&\,a-|10-b|\\[4mm] |10-b|=&\,a-4. \end{align*}

If $10-b=a-4$ , then

a+b=14.

Together with $a-b=8$ , this gives

\begin{align*} 2a=&\,22\\[4mm] a=&\,11,\qquad b=3. \end{align*}

The other case, $10-b=-(a-4)$ , would give $a-b=-6$ , contradicting $a-b=8$ .

Therefore,

\boxed{a=11,\qquad b=3}.

IAL 2024 Jan Q8

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(a)(iii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程