题目

Problem

(i) The variables $x$ and $y$ are connected by the equation

y=\frac{10^6}{x^3}\qquad x>0

Sketch the graph of $\log_{10}y$ against $\log_{10}x$

Show on your sketch the coordinates of the points of intersection of the graph with the axes.

(3)

(ii)

Figure 2 shows the linear relationship between $\log_3N$ and $t$ .

Show that $N=ab^t$ where $a$ and $b$ are constants to be found.

(3)

题目中文翻译

(i) 变量 $x$ 和 $y$ 满足方程

y=\frac{10^6}{x^3}\qquad x>0

画出 $\log_{10}y$ 关于 $\log_{10}x$ 的图像草图。

并在草图上标出该图像与坐标轴交点的坐标。

(ii)

图 2 给出了 $\log_3N$ 与 $t$ 之间的线性关系。

证明 $N=ab^t$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是需要求出的常数。

解答

(i)

解法一

思路

展开

对原方程两边取常用对数，并使用对数的乘方与商法则。令横坐标为 $X=\log_{10}x$ 、纵坐标为 $Y=\log_{10}y$ ，即可得到一条斜率为 $-3$ 的直线，再分别令 $X=0$ 、 $Y=0$ 求截距。

答题过程

展开

Taking logarithms to base $10$ ,

\begin{align*} \log_{10}y =&\,\log_{10}\bigg(\frac{10^6}{x^3}\bigg) \\[2mm] =&\,\log_{10}10^6-\log_{10}x^3 \\[2mm] =&\,6-3\log_{10}x. \end{align*}

Thus the graph of $\log_{10}y$ against $\log_{10}x$ is a straight line with gradient $-3$ .

When $\log_{10}x=0$ ,

\log_{10}y=6,

giving the intercept $(0,6)$ .

When $\log_{10}y=0$ ,

\begin{align*} 0=&\,6-3\log_{10}x, \\[2mm] \log_{10}x=&\,2, \end{align*}

giving the intercept $(2,0)$ .

The required sketch is:

(ii)

解法一

思路

展开

从图中读取直线经过 $(-2,0)$ 和 $(0,4)$ ，先求直线方程 $\log_3N=2t+4$ 。再以 $3$ 为底取指数，并用指数律拆成常数乘以常数的 $t$ 次方。

答题过程

展开

From Figure 2, the gradient is

\frac{4-0}{0-(-2)}=2,

and the vertical intercept is $4$ . Hence,

\log_3N=2t+4.

Therefore,

\begin{align*} N=&\,3^{2t+4} \\[2mm] =&\,3^4\big(3^2\big)^t \\[2mm] =&\,81(9)^t. \end{align*}

Thus,

\boxed{N=81(9)^t},

where $a=81$ and $b=9$ .

IAL 2024 May Q3

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程