题目

Problem

f(x)=8\sin x\cos x+4\cos^2x-3

(a) Write $f(x)$ in the form

a\sin 2x+b\cos 2x+c

where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be found.

(3)

(b) Use the answer to part (a) to write $f(x)$ in the form

R\sin(2x+\alpha)+c

where $R>0$ and $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$

Give the exact value of $R$ and give the value of $\alpha$ in radians to 3 significant figures.

(3)

(i) state the maximum value of $f(x)$

(ii) find the second smallest positive value of $x$ at which a maximum value of $f(x)$ occurs. Give your answer to 3 significant figures.

(3)

题目中文翻译

已知

f(x)=8\sin x\cos x+4\cos^2x-3

(a) 将 $f(x)$ 写成

a\sin 2x+b\cos 2x+c

的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是需要求出的整数。

(b) 利用 (a) 的答案，将 $f(x)$ 写成

R\sin(2x+\alpha)+c

的形式，其中 $R>0$ 且 $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ 。

给出 $R$ 的精确值，并给出 $\alpha$ 的值（弧度制），精确到 3 位有效数字。

(i) 写出 $f(x)$ 的最大值；

(ii) 求 $f(x)$ 取得最大值时第二小的正数 $x$ 值。答案精确到 3 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

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使用倍角公式 $\sin2x=2\sin x\cos x$ 和 $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$ ，把原式中的乘积与平方都改写成 $2x$ 的三角函数。

答题过程

展开

Using

\sin2x=2\sin x\cos x

and

\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2},

we obtain

\begin{align*} f(x)=&\,8\sin x\cos x+4\cos^2x-3 \\[2mm] =&\,4\sin2x+2(1+\cos2x)-3 \\[2mm] =&\,4\sin2x+2\cos2x-1. \end{align*}

Therefore,

\boxed{a=4,\qquad b=2,\qquad c=-1}.

(b)

解法一

思路

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展开 $R\sin(2x+\alpha)$ 后比较 $\sin2x$ 与 $\cos2x$ 的系数。由此可求出 $R$ ，并利用 $\tan\alpha$ 求出第一象限内的 $\alpha$ 。

答题过程

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Expanding the required form,

\begin{align*} R\sin(2x+\alpha) =&\,R\cos\alpha\sin2x \\ &\,+R\sin\alpha\cos2x. \end{align*}

Comparing this with the result from part (a),

R\cos\alpha=4

and

R\sin\alpha=2.

Hence,

\begin{align*} R=&\,\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}, \\[2mm] \tan\alpha=&\,\frac{2}{4}=\frac12. \end{align*}

Since $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ,

\alpha=\tan^{-1}\bigg(\frac12\bigg) =0.463647\ldots

Therefore, to $3$ significant figures,

\boxed{f(x)=2\sqrt{5}\sin(2x+0.464)-1}.

(c)(i)

解法一

思路

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由 (b) 的合并形式可知，正弦项的最大值是 $1$ 。因此把 $\sin(2x+\alpha)$ 取为 $1$ ，即可直接得到 $f(x)$ 的最大值。

答题过程

展开

Since

-1\leq\sin(2x+\alpha)\leq1,

the maximum occurs when $\sin(2x+\alpha)=1$ . Thus,

\boxed{\max f(x)=2\sqrt{5}-1}.

(c)(ii)

解法一

思路

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本小题承接 (b)：正弦在角度 $\frac{\pi}{2}+2n\pi$ 时达到最大值。先写出所有对应的 $x$ ，再依次取 $n=0,1$ ；第二小的正值对应 $n=1$ 。

答题过程

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A maximum occurs when

2x+\alpha=\frac{\pi}{2}+2n\pi, \qquad n\in\mathbb{Z}.

Therefore,

x=\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{2}+n\pi.

For $n=0$ , this gives the smallest positive value. Hence the second smallest positive value occurs when $n=1$ :

\begin{align*} x=&\,\frac{\frac{5\pi}{2}-\alpha}{2} \\[2mm] =&\,\frac{\frac{5\pi}{2} -\tan^{-1}(\frac12)}{2} \\[2mm] =&\,3.69516\ldots. \end{align*}

Therefore, to $3$ significant figures,

\boxed{x=3.70}.

IAL 2024 May Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程