函数 $f$ 和 $g$ 定义为

(a) 求 $f^{-1}(22)$。

(b) 用求导证明 $g$ 是增函数。

(c) 求 $g^{-1}$。

(d) 求复合函数 $fg$ 的值域。

$f^{-1}(22)$ 是满足 $f(x)=22$ 的输入值。因此直接建立对数方程，解出 $x$，并保留精确指数形式。

Let

Then

Therefore,

使用商法则求导，并把分子完整化简。导数的分母是平方，分子为正常数，因此在整个定义域内导数恒正，函数严格递增。

Using the quotient rule,

For $x>\frac13$, $(2x+1)^2>0$. Hence

throughout the domain, so $g$ is an increasing function.

令 $y=g(x)$，交叉相乘后收集所有含 $x$ 的项，再把 $x$ 表示为 $y$ 的函数。反函数的定义域就是原函数的值域，因此还要先确定 $g(x)$ 的值域。

Let

Then

Since $g$ is increasing for $x>\frac13$,

and

Neither endpoint is attained, so the range of $g$ is $(0,3)$. Therefore,

这里 $fg$ 表示复合函数 $f\circ g$。由 (c) 可知 $0<g(x)<3$；函数 $f(u)=2+5\ln u$ 在 $u>0$ 上严格递增，因此把区间 $(0,3)$ 通过 $f$ 映射即可得到复合函数的值域。

From part (c),

Since $f(u)=2+5\ln u$ is increasing for $u>0$,

Also, as $g(x)\to0^+$,

Therefore, the range of $fg$ is