题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 3 shows a sketch of part of the curve with equation

y=\sqrt{4x-7}

The line $l$ , shown in Figure 3, is the normal to the curve at the point $P(8,5)$

(a) Use calculus to show that an equation of $l$ is

5x+2y-50=0

(5)

The region $R$ , shown shaded in Figure 3, is bounded by the curve, the $x$ -axis and $l$ .

(b) Use algebraic integration to find the exact area of $R$ .

(4)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

图 3 给出了曲线一部分的草图，曲线方程为

y=\sqrt{4x-7}

图 3 所示直线 $l$ 是曲线在点 $P(8,5)$ 处的法线。

(a) 用微积分证明 $l$ 的方程为

5x+2y-50=0

阴影部分区域 $R$ 由该曲线、 $x$ 轴和 $l$ 围成。

(b) 用代数积分求 $R$ 的精确面积。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先对曲线求导并代入 $x=8$ ，得到点 $P$ 处切线斜率。法线斜率是切线斜率的负倒数，再用点斜式写出经过 $P(8,5)$ 的法线并整理为题目指定形式。

答题过程

展开

Write

y=(4x-7)^{\frac12}.

Differentiating,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac12(4x-7)^{-\frac12}\times4 \\[2mm] =&\,\frac{2}{\sqrt{4x-7}}. \end{align*}

At $P(8,5)$ , the gradient of the tangent is

\frac{2}{\sqrt{4(8)-7}}=\frac25.

Therefore, the gradient of the normal is

-\frac52.

Using the point-gradient form,

y-5=-\frac52(x-8).

Hence,

\begin{align*} 2y-10=&\,-5x+40, \\[2mm] 5x+2y-50=&\,0. \end{align*}

Thus, an equation of $l$ is

\boxed{5x+2y-50=0}.

(b)

解法一

思路

展开

曲线与 $x$ 轴交于 $x=\frac74$ ，法线与 $x$ 轴交于 $x=10$ 。区域 $R$ 可分成两部分：从 $x=\frac74$ 到 $x=8$ 的曲线下方面积，以及从 $x=8$ 到 $x=10$ 的法线下方三角形面积。

答题过程

展开

The curve meets the $x$ -axis when

\sqrt{4x-7}=0,

so $x=\frac74$ .

From the equation of $l$ ,

y=25-\frac52x.

Thus $l$ meets the $x$ -axis at $x=10$ . The area under the curve from $x=\frac74$ to $x=8$ is

\begin{align*} \int_{\frac74}^{8}\sqrt{4x-7}\,\mathrm{d}x =&\,\bigg[\frac{(4x-7)^{\frac32}}{6}\bigg]_{\frac74}^{8} \\[2mm] =&\,\frac{25^{\frac32}}{6} \\[2mm] =&\,\frac{125}{6}. \end{align*}

The remaining part is a triangle with base $10-8=2$ and height $5$ , so its area is

\frac12(2)(5)=5.

Therefore,

\begin{align*} \operatorname{Area}(R) =&\,\frac{125}{6}+5 \\[2mm] =&\,\boxed{\frac{155}{6}}. \end{align*}

IAL 2024 May Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程