题目

Problem

The heart rate of a horse is being monitored.

The heart rate $H$ , measured in beats per minute (bpm), is modelled by the equation

H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}

where $t$ minutes is the time after monitoring began.

Figure 4 is a sketch of $H$ against $t$ .

Use the equation of the model to answer parts (a) to (e).

(a) State the initial heart rate of the horse.

(1)

In the long term, the heart rate of the horse approaches $L$ bpm.

(b) State the value of $L$ .

(1)

The heart rate of the horse reaches its maximum value after $T$ minutes.

(Solutions based entirely on calculator technology are not acceptable.)

(5)

The heart rate of the horse is 37 bpm after $M$ minutes.

(d) Show that $M$ is a solution of the equation

t=5\ln\left(\frac{8}{1+4e^{-0.9t}}\right)

(2)

Using the iteration formula

t_{n+1}=5\ln\left(\frac{8}{1+4e^{-0.9t_n}}\right)\qquad \text{with}\qquad t_1=10

(e) (i) find, to 4 decimal places, the value of $t_2$

(ii) find, to 4 decimal places, the value of $M$

(3)

题目中文翻译

一匹马的心率正在被监测。

心率 $H$ 以每分钟跳动次数（bpm）计，其模型方程为

H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}

其中 $t$ 分钟表示开始监测后的时间。

图 4 是 $H$ 关于 $t$ 的草图。

使用该模型方程回答 (a) 到 (e)。

(a) 写出这匹马的初始心率。

长期来看，这匹马的心率趋近于 $L$ bpm。

(b) 写出 $L$ 的值。

这匹马的心率在 $T$ 分钟后达到最大值。

（不接受完全依赖计算器技术的解法。）

这匹马在 $M$ 分钟后心率为 37 bpm。

(d) 证明 $M$ 是下列方程的一个解

t=5\ln\left(\frac{8}{1+4e^{-0.9t}}\right)

利用迭代公式

t_{n+1}=5\ln\left(\frac{8}{1+4e^{-0.9t_n}}\right)\qquad \text{其中}\qquad t_1=10

(e) (i) 求 $t_2$ 的值，答案精确到小数点后 4 位

(ii) 求 $M$ 的值，答案精确到小数点后 4 位

解答

(a)

解法一

思路

展开

初始时刻对应 $t=0$ 。把 $t=0$ 代入模型，并使用 $e^0=1$ 。

答题过程

展开

At $t=0$ ,

\begin{align*} H=&\,32+40e^0-20e^0 \\[2mm] =&\,52. \end{align*}

Therefore, the initial heart rate is

\boxed{52\text{ bpm}}.

(b)

解法一

思路

展开

长期情况对应 $t\to\infty$ 。两个负指数项都会趋近于 $0$ ，只剩模型中的常数项。

答题过程

展开

As $t\to\infty$ ,

e^{-0.2t}\to0

and

e^{-0.9t}\to0.

Hence,

\boxed{L=32\text{ bpm}}.

(c)

解法一

思路

展开

对心率模型关于 $t$ 求导，令导数为零，并把两个指数项相除，得到只含 $e^{0.7t}$ 的方程。最后检查导数在该点前后由正变负，确认这是最大值。

答题过程

展开

Differentiating with respect to $t$ ,

\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} =-8e^{-0.2t}+18e^{-0.9t}.

At a stationary point,

-8e^{-0.2t}+18e^{-0.9t}=0.

Therefore,

\begin{align*} 18e^{-0.9t}=&\,8e^{-0.2t}, \\[2mm] 9=&\,4e^{0.7t}, \\[2mm] e^{0.7t}=&\,\frac94. \end{align*}

Taking natural logarithms,

\begin{align*} 0.7t=&\,\ln\bigg(\frac94\bigg), \\[2mm] t=&\,\frac{\ln(\frac94)}{0.7} \\[2mm] =&\,1.158471\ldots. \end{align*}

Also,

\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} =e^{-0.9t}\big(18-8e^{0.7t}\big).

This derivative is positive before the stationary point and negative after it, so the stationary point is a maximum. Therefore, to $3$ decimal places,

\boxed{T=1.158\text{ minutes}}.

(d)

解法一

思路

展开

将 $H=37$ 代入模型，先把 $e^{-0.2t}$ 单独留在一边，再取倒数得到 $e^{0.2t}$ 。取自然对数后即可逐步得到题目要求的固定点方程。

答题过程

展开

When $H=37$ ,

37=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}.

Hence,

\begin{align*} 5=&\,40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}, \\[2mm] 1=&\,8e^{-0.2t}-4e^{-0.9t}, \\[2mm] 8e^{-0.2t}=&\,1+4e^{-0.9t}. \end{align*}

Therefore,

e^{0.2t}=\frac{8}{1+4e^{-0.9t}}.

Taking natural logarithms,

0.2t=\ln\bigg(\frac{8}{1+4e^{-0.9t}}\bigg).

Thus,

\boxed{t=5\ln\bigg(\frac{8}{1+4e^{-0.9t}}\bigg)}.

Hence $M$ is a solution of the required equation.

(e)(i)

解法一

思路

展开

将初值 $t_1=10$ 直接代入给定的迭代公式，计算下一项 $t_2$ 。

答题过程

展开

Using $t_1=10$ ,

\begin{align*} t_2 =&\,5\ln\bigg( \frac{8}{1+4e^{-0.9(10)}}\bigg) \\[2mm] =&\,10.394740\ldots. \end{align*}

Therefore, to $4$ decimal places,

\boxed{t_2=10.3947}.

(e)(ii)

解法一

思路

展开

继续使用相同的迭代公式，直到相邻迭代值在小数点后四位保持不变。

答题过程

展开

Continuing the iteration,

\begin{array}{c|c} n & t_n \\ \hline 1 & 10.000000000 \\ 2 & 10.394740121 \\ 3 & 10.395477835 \\ 4 & 10.395478983 \\ 5 & 10.395478984 \end{array}

The values converge to

M=10.395478984\ldots.

Therefore, to $4$ decimal places,

\boxed{M=10.3955\text{ minutes}}.

IAL 2024 Oct Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)(i)

解法一

思路

答题过程

(e)(ii)

解法一

思路

答题过程