方程 $\mathrm{f}(x)=0$ 有一个唯一根 $\alpha$。

(a) 证明 $0.1<\alpha<0.2$。

(b) 证明 $\alpha$ 是以下方程的一个解：

使用迭代公式

来求 $\alpha$。

(c) 从 $x_1=0.15$ 开始，并使用该迭代公式：

(i) 求 $x_2$ 的值，精确到小数点后 4 位；

(ii) 求 $\alpha$ 的值，精确到小数点后 4 位。

分别计算 $f(0.1)$ 和 $f(0.2)$。由于函数在该闭区间上连续，若两个函数值异号，就可由介值定理说明区间内存在一个根；题目已说明根唯一，因此该根就是 $\alpha$。

Using radians,

whereas

The function $f$ is continuous on $[0.1,0.2]$. Since there is a change of sign, there is a root between $0.1$ and $0.2$.

As the root is unique,

从 $f(x)=0$ 出发，把 $\sec x$ 改写为 $\dfrac1{\cos x}$，再把含 $x$ 的线性项移到等号一边，即可自然得到题目给出的迭代形式。

Since $\alpha$ is a root of $f(x)=0$,

Using $\sec\alpha=\dfrac1{\cos\alpha}$,

Therefore, $\alpha$ is a solution of

把给定的 $x_1=0.15$ 直接代入迭代公式。计算时必须使用弧度模式，并在最后才四舍五入到四位小数。

Using $x_1=0.15$,

Therefore,

to four decimal places.

继续使用同一迭代公式，直到连续两次迭代所得数值在四位小数下相同。保留中间值可以清楚表明答案来自迭代，而不是直接使用方程求解功能。

Continuing the iteration,

The values have converged to four decimal places. Hence