题目

Problem

Given that

\frac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}\equiv Ax+B+\frac{Cx+D}{x^2+4}

(a) (i) find the values of the constants $A$ , $B$ and $C$

(ii) show that $D=0$

(4)

(b) Hence, using algebraic integration, find

\int_1^4 \frac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}\,dx

giving your answer in the form $p+q\ln 2$ , where $p$ and $q$ are integers.

(5)

题目中文翻译

已知

\frac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}\equiv Ax+B+\frac{Cx+D}{x^2+4}

(a) (i) 求常数 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值；

(ii) 证明 $D=0$ 。

(b) 由此使用代数积分求

\int_1^4 \frac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}\,dx

答案写成 $p+q\ln 2$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

先把恒等式右边乘回共同分母，再展开并比较 $x^3$ 、 $x^2$ 和 $x$ 的系数。恒等式对所有允许的 $x$ 都成立，所以对应次数的系数必须相等。

答题过程

展开

Multiplying the identity by $x^2+4$ gives

\begin{align*} 4x^3+2x^2+3x+8 \equiv&\,(Ax+B)(x^2+4)+Cx+D\\ \equiv&\,Ax^3+Bx^2+(4A+C)x\\ &\,+4B+D. \end{align*}

Comparing coefficients,

A=4,\qquad B=2,

and

4A+C=3.

Therefore,

C=3-16=-13.

Hence

\boxed{A=4,\qquad B=2,\qquad C=-13}.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

继续比较常数项。由上一小题的 $B=2$ ，右边常数项为 $4B+D$ ；令它等于左边的常数项 $8$ ，即可自然证明 $D=0$ 。

答题过程

展开

Comparing the constant terms gives

4B+D=8.

Since $B=2$ ,

4(2)+D=8,

\boxed{D=0}.

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 的恒等分解，原被积函数可写成 $4x+2-\dfrac{13x}{x^2+4}$ 。最后一项的分子与分母导数只差常数倍，因此积分会产生 $\ln(x^2+4)$ 。代入上下限后再利用对数定律化成题目指定形式。

答题过程

展开

Using the identity found in part (a),

\frac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4} =4x+2-\frac{13x}{x^2+4}.

Therefore,

\begin{align*} &\int_1^4 \frac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4} \,\mathrm{d}x\\ =&\,\bigg[ 2x^2+2x-\frac{13}{2}\ln(x^2+4) \bigg]_1^4\\ =&\,\bigg(40-\frac{13}{2}\ln20\bigg) -\bigg(4-\frac{13}{2}\ln5\bigg)\\ =&\,36-\frac{13}{2}\ln\bigg(\frac{20}{5}\bigg)\\ =&\,36-\frac{13}{2}\ln4\\ =&\,36-13\ln2. \end{align*}

Hence

\boxed{36-13\ln2}.

IAL 2025 Jan Q4

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程