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IAL 2025 Jan Q5

A Level / Edexcel / P3

IAL 2025 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

A hot piece of metal is cooled by dropping it into water. The temperature, H∘CH^\circ\mathrm{C}, of the metal, tt minutes after it is dropped into the water, is modelled by the equation

H=280e−0.05t+24t≥0H=280e^{-0.05t}+24\qquad t\geq 0

Use the equation of the model to answer parts (a) to (d).

(a) Find the initial temperature of the piece of metal.

(1)

(b) On Diagram 1, sketch the graph of HH against tt. On your sketch, state the equation of the asymptote to the curve.

(2)

(c) Find the value of tt for which H=144H=144, giving your answer to 2 decimal places.

(Solutions based entirely on calculator technology are not acceptable.)

(3)

(d) Show by differentiation that

dHdt=a+bH\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=a+bH

where aa and bb are constants to be found.

(3)
题目中文翻译

一块热金属被投入水中冷却。投入水中后 tt 分钟，金属的温度为 H∘CH^\circ\mathrm{C}，模型方程为

H=280e−0.05t+24t≥0H=280e^{-0.05t}+24\qquad t\geq 0

使用该模型方程回答 (a) 到 (d)。

(a) 求这块金属的初始温度。

(b) 在 Diagram 1 上画出 HH 关于 tt 的图像。在你的草图上写出该曲线的渐近线方程。

(c) 求 H=144H=144 时 tt 的值，答案精确到小数点后 2 位。

（不接受完全依赖计算器技术的解法。）

(d) 通过求导证明

dHdt=a+bH\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=a+bH

其中 aa 和 bb 是需要求出的常数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

初始时刻对应 t=0t=0。把它代入模型，并使用 e0=1\mathrm{e}^0=1。

答题过程

展开

At t=0t=0,

H= 280e−0.05(0)+24= 280+24= 304.\begin{align*} H=&\,280\mathrm{e}^{-0.05(0)}+24\\ =&\,280+24\\ =&\,304. \end{align*}

Therefore, the initial temperature is

304∘C.\boxed{304^\circ\mathrm{C}}.

(b)

解法一

思路

展开

这是指数衰减图像：从 (0,304)(0,304) 开始，在 t≥0t\geq0 范围内持续下降，并逐渐趋近于 H=24H=24，但不穿过这条水平渐近线。

答题过程

展开

The curve starts at (0,304)(0,304) and decreases, becoming less steep as tt increases. Since

280e−0.05t→0ast→∞,280\mathrm{e}^{-0.05t}\to0 \quad\text{as}\quad t\to\infty,

the horizontal asymptote is

H=24.\boxed{H=24}.

(c)

解法一

思路

展开

把 H=144H=144 代入模型，先把指数项单独移到一边，再对等式两边取自然对数。保留足够的中间精度，最后才四舍五入到小数点后两位。

答题过程

展开

Setting H=144H=144,

144= 280e−0.05t+24120= 280e−0.05te−0.05t= 37.\begin{align*} 144=&\,280\mathrm{e}^{-0.05t}+24\\ 120=&\,280\mathrm{e}^{-0.05t}\\ \mathrm{e}^{-0.05t}=&\,\frac37. \end{align*}

Taking natural logarithms,

−0.05t=ln⁡(37).-0.05t=\ln\bigg(\frac37\bigg).

Therefore,

t= −20ln⁡(37)= 16.945….\begin{align*} t=&\,-20\ln\bigg(\frac37\bigg)\\ =&\,16.945\ldots. \end{align*}

Hence, to two decimal places,

t=16.95 minutes.\boxed{t=16.95\text{ minutes}}.

(d)

解法一

思路

展开

先直接对模型求导。然后由原模型得到 280e−0.05t=H−24280\mathrm{e}^{-0.05t}=H-24，把导数中的指数项换成 HH，即可整理成 a+bHa+bH。

答题过程

展开

Differentiating the model with respect to tt,

dHdt= −0.05(280)e−0.05t= −14e−0.05t.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} =&\,-0.05(280)\mathrm{e}^{-0.05t}\\ =&\,-14\mathrm{e}^{-0.05t}. \end{align*}

From the original model,

280e−0.05t=H−24.280\mathrm{e}^{-0.05t}=H-24.

Therefore,

dHdt= −0.05(H−24)= 1.2−0.05H.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} =&\,-0.05(H-24)\\ =&\,1.2-0.05H. \end{align*}

Thus

a=1.2,b=−0.05.\boxed{a=1.2,\qquad b=-0.05}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受先由模型把 tt 表示成 HH，求出 dtdH\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}H} 后再取倒数。这条路线同样会得到关于 HH 的线性式。

答题过程

展开

Rearranging the model,

e−0.05t=H−24280.\mathrm{e}^{-0.05t}=\frac{H-24}{280}.

Taking natural logarithms,

t=−20ln⁡(H−24280).t=-20\ln\bigg(\frac{H-24}{280}\bigg).

Differentiating with respect to HH,

dtdH=−20H−24.\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}H} =-\frac{20}{H-24}.

Hence

dHdt= 1dt/dH= −H−2420= 1.2−0.05H.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{1}{\mathrm{d}t/\mathrm{d}H}\\ =&\,-\frac{H-24}{20}\\ =&\,1.2-0.05H. \end{align*}

Therefore,

a=1.2,b=−0.05.\boxed{a=1.2,\qquad b=-0.05}.