题目

Problem

The curve $C$ has equation

x=\frac{4y^2-3}{2y+1}\qquad y\ne -\frac12

(a) Find $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ in terms of $y$ , giving the answer in simplest form.

(4)

A point $P$ lies on $C$ .

Given that

the gradient of the tangent to $C$ at $P$ is $\dfrac13$
the point $P$ lies above the $x$ -axis

(b) find the coordinates of $P$ .

(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)

(4)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为

x=\frac{4y^2-3}{2y+1}\qquad y\ne -\frac12

(a) 求用 $y$ 表示的 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，答案写成最简形式。

点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

已知

曲线 $C$ 在 $P$ 点处切线的斜率为 $\dfrac13$
点 $P$ 位于 $x$ 轴上方

(b) 求 $P$ 的坐标。

（不接受完全依赖计算器技术的解法。）

解答

(a)

解法一

思路

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题目给出的是 $x$ 关于 $y$ 的函数，所以先用商法则求 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ ，化简后再取倒数得到 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。

答题过程

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Using the quotient rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,\frac{ 8y(2y+1)-2(4y^2-3)} {(2y+1)^2}\\ =&\,\frac{8y^2+8y+6}{(2y+1)^2}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{(2y+1)^2}{8y^2+8y+6}}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受先做代数除法，把分式写成一次式加简单分式。这样求 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ 时计算更短，再取倒数并化简即可。

答题过程

展开

Dividing $4y^2-3$ by $2y+1$ ,

x=2y-1-\frac{2}{2y+1}.

Hence

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =2+\frac{4}{(2y+1)^2}.

Taking the reciprocal,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{ 2+\dfrac{4}{(2y+1)^2}}\\ =&\,\frac{(2y+1)^2} {2(2y+1)^2+4}\\ =&\,\frac{(2y+1)^2} {8y^2+8y+6}. \end{align*}

Thus

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{(2y+1)^2}{8y^2+8y+6}}.

(b)

解法一

思路

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把给定斜率 $\dfrac13$ 代入 (a) 的结果，交叉相乘后得到关于 $y$ 的二次方程。两个根分别位于 $x$ 轴上方和下方；题目要求点在 $x$ 轴上方，所以只保留正的 $y$ 值，再代回曲线求 $x$ 。

答题过程

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At $P$ ,

\frac{(2y+1)^2}{8y^2+8y+6} =\frac13.

Therefore,

\begin{align*} 3(2y+1)^2=&\,8y^2+8y+6\\ 12y^2+12y+3=&\,8y^2+8y+6\\ 4y^2+4y-3=&\,0\\ (2y-1)(2y+3)=&\,0. \end{align*}

Thus

y=\frac12 \quad\text{or}\quad y=-\frac32.

Since $P$ lies above the $x$ -axis, $y=\dfrac12$ . Substituting into the curve,

\begin{align*} x=&\,\frac{4(1/2)^2-3}{2(1/2)+1}\\ =&\,\frac{1-3}{2}\\ =&\,-1. \end{align*}

Therefore,

\boxed{P\bigg(-1,\frac12\bigg)}.

IAL 2025 May A Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程