函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 定义如下：

其中 $a$ 是一个正的常数。

(a) 求 $\mathrm{fg}(2a)$ 的精确值。

(b) 求 $\mathrm{f}^{-1}$。

图 3 给出了曲线 $y=\mathrm{g}(x)$ 的草图。

(c) 画出曲线 $y=|\mathrm{g}(x)|$ 的图像。

在你的草图中清楚标出水平渐近线的方程。

方程 $|\mathrm{g}(x)|=10$ 有两个解。

已知较大的解为 $8$。

(d) (i) 求 $a$ 的值，

(ii) 求较小的解。

$fg(2a)$ 表示 $f(g(2a))$。先把 $2a$ 代入 $g$，利用 $a>0$ 约去公因子；再把所得数值代入 $f$。

First,

Therefore,

令 $y=f(x)$，先用指数函数消去自然对数，再把 $x$ 移到等号一边。原函数限制为 $x>2$，所以其值域为 $y>0$；这正是逆函数的定义域。

Let

Then

Interchanging $x$ and $y$,

先写成 $g(x)=3+\dfrac{a}{x-a}$，即可看出渐近线是 $x=a$ 和 $y=3$。原图在 $x$ 轴下方的部分位于 $\dfrac{2a}{3}<x<a$，取绝对值后要把这一段关于 $x$ 轴翻折；其余部分保持不变。

Since

the vertical asymptote is $x=a$ and the horizontal asymptote is

Also,

so the $x$-intercept is $\big(\dfrac{2a}{3},0\big)$.

For $y=|g(x)|$, the part of $y=g(x)$ below the $x$-axis is reflected above it. Thus the graph has a cusp at $\big(\dfrac{2a}{3},0\big)$, tends to $+\infty$ on both sides of $x=a$, and approaches $y=3$ as $x\to\pm\infty$.

从 (c) 的图像可知，较大的交点位于竖直渐近线右侧，此处 $g(x)>0$，所以应使用 $g(8)=10$，而不是 $g(8)=-10$。代入后解关于 $a$ 的一次方程。

For the larger solution $x=8$, the graph gives $g(8)=10$. Hence

Therefore,

Thus

较小的交点来自被翻到 $x$ 轴上方的分支，因此在原函数上满足 $g(x)=-10$。代入 $a=7$ 后求解，并确认所得值确实小于 8。

The smaller solution satisfies

Using $a=7$,

Hence

Since $\dfrac{84}{13}<8$, this is the smaller solution. Therefore,