题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

The curve $C$ has equation

y=\frac{3x-2}{(x-2)^2}\qquad x\ne 2

The point $P$ on $C$ has $x$ coordinate $4$ .

Find an equation of the normal to $C$ at the point $P$ in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(6)

题目中文翻译

本题必须写出全部解题步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

曲线 $C$ 的方程为

y=\frac{3x-2}{(x-2)^2}\qquad x\ne 2

曲线 $C$ 上点 $P$ 的 $x$ 坐标为 $4$ 。

求曲线 $C$ 在点 $P$ 处的法线方程，并写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a,b,c$ 为整数。

解答

At $x=4$ ,

y=\frac{3(4)-2}{(4-2)^2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}

P\left(4,\frac{5}{2}\right)

把曲线写成幂的形式，方便求导：

y=(3x-2)(x-2)^{-2}

Differentiate:

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=3(x-2)^{-2}+(3x-2)(-2)(x-2)^{-3} \\ &=\frac{3}{(x-2)^2}-\frac{2(3x-2)}{(x-2)^3} \\ &=\frac{3(x-2)-2(3x-2)}{(x-2)^3} \\ &=\frac{-3x-2}{(x-2)^3} \end{aligned}

At $x=4$ ,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{-3(4)-2}{(4-2)^3} =-\frac{14}{8} =-\frac{7}{4}

This is the gradient of the tangent. Therefore the gradient of the normal is

\frac{4}{7}

The normal passes through $P\left(4,\frac{5}{2}\right)$ , so

y-\frac{5}{2}=\frac{4}{7}(x-4)

Multiply by $14$ :

14y-35=8x-32

Hence

\boxed{8x-14y+3=0}