题目

Problem

g(x)=3x-5+5\sin(x^2)

where $x$ is measured in radians.

(a) Show that $g(x)=0$ has a root $\alpha$ in the interval $[0.7,0.8]$ .

(2)

(b) Show that the equation $g(x)=0$ can be written in the form

x=\sqrt{\arcsin(1-px)}

where $p$ is a constant to be found.

(1)

Using the iteration formula

x_{n+1}=\sqrt{\arcsin(1-px_n)}

with the value of $p$ found in part (b) and starting with $x_1=0.7$

(ii) find, by repeated iteration, the value of $\alpha$ , giving your answer to 4 decimal places.

(3)

题目中文翻译

g(x)=3x-5+5\sin(x^2)

其中 $x$ 用弧度表示。

(a) 证明方程 $g(x)=0$ 在区间 $[0.7,0.8]$ 内有一根 $\alpha$ 。

(b) 证明方程 $g(x)=0$ 可写成

x=\sqrt{\arcsin(1-px)}

的形式，其中 $p$ 为待求常数。

利用迭代公式

x_{n+1}=\sqrt{\arcsin(1-px_n)}

并取(b)中求得的 $p$ 值、初值 $x_1=0.7$ ，

(ii) 通过重复迭代求 $\alpha$ 的值，答案精确到小数点后 4 位。

解答

(a)

解法一

思路

展开

要证明区间内有根，可以用变号法。函数 $g$ 是连续函数；如果 $g(0.7)$ 和 $g(0.8)$ 异号，那么在这两个点之间至少有一个根。

答题过程

展开

Using

g(x)=3x-5+5\sin(x^2)

we have

\begin{align*} g(0.7) =&\,3(0.7)-5+5\sin(0.7^2) \\[2mm] =&\,-0.5468\ldots \end{align*}

and

\begin{align*} g(0.8) =&\,3(0.8)-5+5\sin(0.8^2) \\[2mm] =&\,0.3859\ldots \end{align*}

g(0.7)<0 \qquad\text{and}\qquad g(0.8)>0

Since $g(x)$ is continuous, there is a change of sign between $0.7$ and $0.8$ .

Therefore $g(x)=0$ has a root $\alpha$ in the interval $[0.7,0.8]$ .

(b)

解法一

思路

展开

从 $g(x)=0$ 出发，把 $\sin(x^2)$ 单独移到一边，再对两边取 $\arcsin$ ，最后开平方。

答题过程

展开

From

g(x)=0

we have

3x-5+5\sin(x^2)=0

Hence

\begin{align*} 5\sin(x^2)=&\,5-3x \\[2mm] \sin(x^2)=&\,1-\frac35x \end{align*}

Taking $\arcsin$ on both sides,

x^2=\arcsin\left(1-\frac35x\right)

Since the required root is positive,

x=\sqrt{\arcsin\left(1-\frac35x\right)}

Therefore

\boxed{p=\frac35}

(c)

解法一

思路

展开

用 (b) 得到的 $p=\frac35=0.6$ ，代入迭代公式

x_{n+1}=\sqrt{\arcsin(1-0.6x_n)}

并从 $x_1=0.7$ 开始计算。

答题过程

展开

Using

p=\frac35=0.6

the iteration formula is

x_{n+1}=\sqrt{\arcsin(1-0.6x_n)}

(i)

When $x_1=0.7$ ,

\begin{align*} x_2 =&\,\sqrt{\arcsin(1-0.6(0.7))} \\[2mm] =&\,0.786593\ldots \end{align*}

Therefore

\boxed{x_2=0.7866}

to 4 decimal places.

(ii)

Continuing the iteration gives

\begin{array}{c|c} n & x_n\\ \hline 1 & 0.7000\\ 2 & 0.7866\\ 3 & 0.7459\\ 4 & 0.7651\\ 5 & 0.7560\\ 6 & 0.7603\\ 7 & 0.7583\\ 8 & 0.7592\\ 9 & 0.7588\\ 10 & 0.7590\\ 11 & 0.7589 \end{array}

So the iteration converges to

\boxed{\alpha=0.7589}

to 4 decimal places.

IAL 2026 Jan Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(i)

(ii)