國際數學圖譜

IAL 2026 Jan Q2

A Level / Edexcel / P3

IAL 2026 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

(i) Given $y=x^2\ln(2x)$ , find in simplest form,

\frac{dy}{dx}

(2)

(ii) Given

f(x)=\frac{e^{2x}}{(4x+3)^2}\qquad x>-\frac{3}{4}

show that

f'(x)=\frac{2e^{2x}(ax+b)}{(4x+3)^3}

where $a$ and $b$ are constants to be found.

(4)

题目中文翻译

(i) 已知 $y=x^2\ln(2x)$ ，求最简形式的

\frac{dy}{dx}

(ii) 已知

f(x)=\frac{e^{2x}}{(4x+3)^2}\qquad x>-\frac{3}{4}

证明

f'(x)=\frac{2e^{2x}(ax+b)}{(4x+3)^3}

其中 $a,b$ 为待求常数。

解答

(i)

解法一

思路

展开

这是乘积求导：

y=x^2\ln(2x)

把 $x^2$ 和 $\ln(2x)$ 看成两个因式。注意

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(2x)=\frac{1}{x}

答题过程

展开

Using the product rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,2x\ln(2x)+x^2\cdot\frac{1}{x} \\[2mm] =&\,2x\ln(2x)+x \end{align*}

Therefore

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x\ln(2x)+x}

(ii)

解法一

思路

展开

把函数写成

f(x)=e^{2x}(4x+3)^{-2}

然后用乘积求导和链式法则。最后提出公因式，把结果整理成题目要求的形式。

答题过程

展开

Write

f(x)=e^{2x}(4x+3)^{-2}

Using the product rule,

\begin{align*} f'(x) =&\,2e^{2x}(4x+3)^{-2} +e^{2x}\big[-2(4x+3)^{-3}\cdot4\big] \\[2mm] =&\,2e^{2x}(4x+3)^{-2} -8e^{2x}(4x+3)^{-3} \end{align*}

Take out the common factor $2e^{2x}(4x+3)^{-3}$ .

\begin{align*} f'(x) =&\,2e^{2x}(4x+3)^{-3}\big[(4x+3)-4\big] \\[2mm] =&\,2e^{2x}(4x+3)^{-3}(4x-1) \\[2mm] =&\,\frac{2e^{2x}(4x-1)}{(4x+3)^3} \end{align*}

Therefore

\boxed{a=4,\qquad b=-1}