题目

Problem

The resting heart rate, $h$ beats per minute, of a particular group of mammals, can be modelled by the equation

\log_{10}h=2.4-0.25\log_{10}m

where $m$ kg is the mass of the mammal.

The mass of one of these mammals is $3$ kg.

According to the model,

(a) find the resting heart rate of this mammal. Give your answer to 3 significant figures.

(2)

(b) Show that the equation of the model can be written in the form

h=\frac{p}{m^q}

giving each of the values of the constants $p$ and $q$ to 3 significant figures where appropriate.

(3)

(1)

题目中文翻译

某一类哺乳动物的静息心率 $h$ （单位：次/分钟）可由下式建模：

\log_{10}h=2.4-0.25\log_{10}m

其中 $m$ kg 表示该哺乳动物的质量。

现有一只该类哺乳动物，其质量为 $3$ kg。

根据模型，

(a) 求这只哺乳动物的静息心率，答案保留 3 位有效数字；

(b) 证明模型方程可写成

h=\frac{p}{m^q}

的形式，并求常数 $p,q$ 的值，在适当处保留 3 位有效数字；

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $m=3$ 代入模型：

\log_{10}h=2.4-0.25\log_{10}3

然后用 $10^{(\cdot)}$ 消去 $\log_{10}$ 。

答题过程

展开

Substitute $m=3$ into the model.

\begin{align*} \log_{10}h =&\,2.4-0.25\log_{10}3 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} h =&\,10^{2.4-0.25\log_{10}3} \\[2mm] =&\,190.862\ldots \end{align*}

So the resting heart rate is

\boxed{191}

beats per minute, to 3 significant figures.

(b)

解法一

思路

展开

用对数法则：

k\log_{10}m=\log_{10}(m^k)

并且

2.4=\log_{10}(10^{2.4})

把右边合并成一个对数后，就可以去掉 $\log_{10}$ 。

答题过程

展开

Starting from

\log_{10}h=2.4-0.25\log_{10}m

write

2.4=\log_{10}(10^{2.4})

and

-0.25\log_{10}m=\log_{10}(m^{-0.25})

\begin{align*} \log_{10}h =&\,\log_{10}(10^{2.4})+\log_{10}(m^{-0.25}) \\[2mm] =&\,\log_{10}(10^{2.4}m^{-0.25}) \end{align*}

Hence

h=10^{2.4}m^{-0.25}

Since

10^{2.4}=251.188\ldots

we get

h=\frac{251}{m^{0.25}}

to 3 significant figures where appropriate.

Therefore

\boxed{p=251,\qquad q=0.25}

(c)

解法一

思路

展开

在

h=\frac{p}{m^q}

中，若 $m=1$ ，则 $m^q=1$ ，所以 $h=p$ 。因此 $p$ 表示质量为 $1$ kg 时模型预测的静息心率。

答题过程

展开

When $m=1$ ,

h=\frac{p}{1^q}=p

Therefore $p$ represents the resting heart rate, in beats per minute, of a mammal of mass $1$ kg according to the model.

IAL 2026 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程