题目

Problem

Relative to a fixed origin $O$ .

the point $A$ has position vector $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$
the point $B$ has position vector $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$

The line $l$ passes through $A$ and $B$ .

(a) (i) Find $\overrightarrow{AB}$

(ii) Find a vector equation for the line $l$

(3)

The point $C$ has position vector $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$

The point $P$ lies on $l$

Given that $\overrightarrow{CP}$ is perpendicular to $l$

(b) find the position vector of the point $P$

(5)

题目中文翻译

相对于固定原点 $O$ ：

点 $A$ 的位置向量为 $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$
点 $B$ 的位置向量为 $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$

直线 $l$ 经过 $A$ 和 $B$ 。

(a) (i) 求 $\overrightarrow{AB}$

(ii) 求直线 $l$ 的一个向量方程。

点 $C$ 的位置向量为 $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ 。

点 $P$ 在 $l$ 上。

已知 $\overrightarrow{CP}$ 垂直于 $l$ ，

(b) 求点 $P$ 的位置向量。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

用终点的位置向量减去起点的位置向量，即 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ，逐个分量相减。

答题过程

展开

\begin{align*} \overrightarrow{AB} &=(8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}) -(2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k})\\ &=\boxed{6\mathbf{i}+6\mathbf{j}-12\mathbf{k}}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

直线经过 $A$ ，方向可取与 $\overrightarrow{AB}$ 平行的任意非零向量。把上一问的向量约去公因数 $6$ ，取较简洁的方向向量 $(1,1,-2)$ 。

答题过程

展开

A direction vector of $l$ is

\frac{1}{6}\overrightarrow{AB} =\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.

Since $l$ passes through $A$ , a vector equation of the line is

\boxed{ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 5 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}, \qquad \lambda\in\mathbb{R}. }

(b)

解法一

思路

展开

先用参数 $\lambda$ 表示直线上的一般点 $P$ ，再写出 $\overrightarrow{CP}$ 。因为 $\overrightarrow{CP}$ 垂直于直线，所以它与直线方向向量的点积为 $0$ ；由此求出 $\lambda$ ，再代回 $P$ 的位置向量。

答题过程

展开

For a point $P$ on $l$ ,

\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 2+\lambda\\ -3+\lambda\\ 5-2\lambda \end{pmatrix}.

Therefore,

\overrightarrow{CP} =\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} \lambda-1\\ \lambda-8\\ 3-2\lambda \end{pmatrix}.

Since $\overrightarrow{CP}$ is perpendicular to $l$ ,

\begin{align*} \begin{pmatrix} \lambda-1\\ \lambda-8\\ 3-2\lambda \end{pmatrix} \boldsymbol{\cdot} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -2 \end{pmatrix} &=0\\ (\lambda-1)+(\lambda-8)-2(3-2\lambda)&=0\\ 6\lambda-15&=0. \end{align*}

Thus

\lambda=\frac{5}{2}.

Substituting this into the equation of $l$ ,

\begin{align*} \overrightarrow{OP} &= \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 5 \end{pmatrix} +\frac{5}{2} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \frac{9}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Hence the position vector of $P$ is

\boxed{\overrightarrow{OP} =\frac{9}{2}\mathbf{i}-\frac{1}{2}\mathbf{j}}.

IAL 2023 Jan Q6

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程