题目

Problem

(a) Prove by contradiction that for all positive numbers $k$

k+\frac{9}{k}\ge 6

(4)

(b) Show that the result in part (a) is not true for all real numbers.

(1)

题目中文翻译

(a) 用反证法证明：对所有正数 $k$ ，

k+\frac{9}{k}\ge 6

成立。

(b) 证明 (a) 中的结论并不对所有实数都成立。

解答

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按反证法，假设存在正数 $k$ 使结论不成立，即严格满足 $k+\dfrac9k<6$ 。因为 $k>0$ ，不等式两边乘以 $k$ 时方向不变；整理后会得到一个平方小于 $0$ 的矛盾。

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Assume, for a contradiction, that there exists a positive number $k$ such that

k+\frac9k<6.

Since $k>0$ , multiplying by $k$ does not reverse the inequality:

\begin{align*} k^2+9<&\,6k\\ k^2-6k+9<&\,0\\ (k-3)^2<&\,0. \end{align*}

This is impossible because the square of a real number is always non-negative. Therefore the assumption is false, and

\boxed{k+\frac9k\geq6}

for every positive number $k$ .

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要说明结论并非对所有实数成立，只需给出一个反例。选择一个简单的负数 $k=-3$ ，代入后左边为 $-6$ ，显然不满足“大于或等于 $6$ ”。

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Take $k=-3$ . Then

k+\frac9k =-3+\frac9{-3} =-6.

Since $-6\not\geq6$ , $k=-3$ is a counterexample. Therefore, the result in part (a) is not true for all real numbers.