题目

Problem

The number of goats on an island is being monitored.

When monitoring began there were 3000 goats on the island.

In a simple model, the number of goats, $x$ , in thousands, is modelled by the equation

x=\frac{k(9t+5)}{4t+3}

where $k$ is a constant and $t$ is the number of years after monitoring began.

(a) Show that $k=1.8$

(2)

(b) Hence calculate the long-term population of goats predicted by this model.

(1)

In a second model, the number of goats, $x$ , in thousands, is modelled by the differential equation

3\frac{dx}{dt}=x(9-2x)

\frac{3}{x(9-2x)}

in partial fraction form.

(3)

(d) Solve the differential equation with the initial condition to show that

x=\frac{9}{2+e^{-3t}}

(5)

(e) Find the long-term population of goats predicted by this second model.

(1)

题目中文翻译

某岛上的山羊数量正在被监测。

开始监测时，岛上有 3000 只山羊。

在一个简单模型中，山羊数量 $x$ （单位：千只）满足方程

x=\frac{k(9t+5)}{4t+3}

其中 $k$ 为常数， $t$ 表示开始监测后的年数。

(a) 证明 $k=1.8$ 。

(b) 进而求出该模型预测的山羊长期数量。

在第二个模型中，山羊数量 $x$ （单位：千只）满足微分方程

3\frac{dx}{dt}=x(9-2x)

\frac{3}{x(9-2x)}

写成部分分式形式。

(d) 结合初始条件解该微分方程，并证明

x=\frac{9}{2+e^{-3t}}

。

(e) 求该第二个模型预测的山羊长期数量。

解答

(a)

解法一

思路

展开

开始监测时有 3000 只山羊，而 $x$ 的单位是千只，所以初始条件是 $t=0$ 时 $x=3$ 。把它代入模型即可求出 $k$ 。

答题过程

展开

At the start,

t=0, \qquad x=3.

Substitute these into

x=\frac{k(9t+5)}{4t+3}.

Then

\begin{align*} 3&=\frac{k(9\cdot 0+5)}{4\cdot 0+3}\\ 3&=\frac{5k}{3}\\ k&=\frac95\\ &=1.8. \end{align*}

Hence

\boxed{k=1.8}.

(b)

解法一

思路

展开

长期数量就是 $t$ 很大时模型的极限。分子、分母都是一次式，所以极限等于最高次项系数之比乘以 $k$ 。

答题过程

展开

Using $k=1.8$ ,

x=\frac{1.8(9t+5)}{4t+3}.

As $t\to\infty$ ,

x\to 1.8\cdot\frac94=4.05.

Since $x$ is measured in thousands, the long-term population is

\boxed{4050}.

(c)

解法一

思路

展开

把分母拆成 $x$ 和 $9-2x$ 两个因子，所以设成 $\frac{A}{x}+\frac{B}{9-2x}$ ，再比较系数。

答题过程

展开

Let

\frac{3}{x(9-2x)} \equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{9-2x}.

Multiply by $x(9-2x)$ :

3\equiv A(9-2x)+Bx.

3\equiv 9A+(-2A+B)x.

Compare coefficients:

9A=3, \qquad -2A+B=0.

Thus

A=\frac13, \qquad B=\frac23.

Therefore

\boxed{ \frac{3}{x(9-2x)} =\frac{1}{3x}+\frac{2}{3(9-2x)} }.

(d)

解法一

思路

展开

先分离变量，然后使用 (c) 的部分分式积分。初始条件仍然是 $t=0$ 时 $x=3$ ，用它确定积分常数。最后把对数式化成题目要求的显式形式。

答题过程

展开

The differential equation is

3\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=x(9-2x).

Separate variables:

\frac{3}{x(9-2x)}\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t.

Integrate:

\int \frac{3}{x(9-2x)}\,\mathrm{d}x=\int 1\,\mathrm{d}t.

Using part (c),

\begin{align*} \int \left( \frac{1}{3x}+\frac{2}{3(9-2x)} \right)\,\mathrm{d}x &=t+C \\[2mm] \frac13\ln x-\frac13\ln(9-2x)&=t+C. \end{align*}

Use the initial condition $t=0$ , $x=3$ :

\frac13\ln 3-\frac13\ln(9-6)=0+C.

C=0.

Hence

\frac13\ln x-\frac13\ln(9-2x)=t.

Multiply by $3$ :

\ln\left(\frac{x}{9-2x}\right)=3t.

Therefore

\frac{x}{9-2x}=e^{3t}.

Rearrange:

\begin{align*} x&=e^{3t}(9-2x)\\ x&=9e^{3t}-2xe^{3t}\\ x(1+2e^{3t})&=9e^{3t}\\ x&=\frac{9e^{3t}}{1+2e^{3t}}. \end{align*}

Divide the numerator and denominator by $e^{3t}$ :

x=\frac{9}{e^{-3t}+2}.

Thus

\boxed{x=\frac{9}{2+e^{-3t}}}.

(e)

解法一

思路

展开

长期时 $t\to\infty$ ，所以 $e^{-3t}\to 0$ 。代入第二个模型的显式解即可。

答题过程

展开

From part (d),

x=\frac{9}{2+e^{-3t}}.

As $t\to\infty$ ,

e^{-3t}\to 0.

x\to \frac92=4.5.

Since $x$ is measured in thousands, the long-term population is

\boxed{4500}.

IAL 2023 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程