题目

Problem

Find, in ascending powers of $x$ up to and including the term in $x^3$ , the binomial expansion of

(1-4x)^{-3}\qquad |x|<\frac{1}{4}

fully simplifying each term.

(4)

题目中文翻译

求

(1-4x)^{-3}\qquad |x|<\frac{1}{4}

按 $x$ 的升幂展开到并包括 $x^3$ 项，并将每一项完全化简。

解答

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使用二项式展开公式。这里可以把 $(1-4x)^{-3}$ 看作 $(1+u)^n$ ，其中 $u=-4x$ 、 $n=-3$ 。题目要求展开到 $x^3$ ，所以保留前四项即可。

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For

(1+u)^n =1+nu+\frac{n(n-1)}{2}u^2 +\frac{n(n-1)(n-2)}{6}u^3+\cdots,

take

u=-4x, \qquad n=-3.

Then

\begin{align*} (1-4x)^{-3} =&\, 1+(-3)(-4x) +\frac{(-3)(-4)}{2}(-4x)^2 \\[2mm] &\,+\frac{(-3)(-4)(-5)}{6}(-4x)^3+\cdots. \end{align*}

Now simplify each term:

(-3)(-4x)=12x,

\frac{(-3)(-4)}{2}(-4x)^2 =6\cdot 16x^2 =96x^2,

and

\frac{(-3)(-4)(-5)}{6}(-4x)^3 =-10\cdot(-64x^3) =640x^3.

Therefore

\boxed{(1-4x)^{-3}=1+12x+96x^2+640x^3+\cdots}

for

|x|<\frac14.