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IAL 2024 Jan Q2

A Level / Edexcel / P4

IAL 2024 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

Given that

3x+4(x−2)(2x+1)2≡Ax−2+B2x+1+C(2x+1)2\frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{2x+1}+\frac{C}{(2x+1)^2}

(a) find the values of the constants AA, BB and CC.

(4)

(b) Hence find the exact value of

∫7123x+4(x−2)(2x+1)2 dx\int_7^{12}\frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\,dx

giving your answer in the form pln⁡q+rp\ln q+r where p,qp,q and rr are rational numbers.

(6)
题目中文翻译

已知

3x+4(x−2)(2x+1)2≡Ax−2+B2x+1+C(2x+1)2\frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{2x+1}+\frac{C}{(2x+1)^2}

(a) 求常数 A,B,CA,B,C 的值。

(b) 进而求

∫7123x+4(x−2)(2x+1)2 dx\int_7^{12}\frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\,dx

的精确值，并将答案写成 pln⁡q+rp\ln q+r 的形式，其中 p,q,rp,q,r 都是有理数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把恒等式两边同乘公共分母 (x−2)(2x+1)2(x-2)(2x+1)^2。然后代入能让某些因子变成 00 的 xx 值，先求出 AA 和 CC，最后再代入一个方便的值求 BB。

答题过程

展开

Given

3x+4(x−2)(2x+1)2≡Ax−2+B2x+1+C(2x+1)2,\frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2} \equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{2x+1}+\frac{C}{(2x+1)^2},

multiply both sides by (x−2)(2x+1)2(x-2)(2x+1)^2:

3x+4≡A(2x+1)2+B(x−2)(2x+1)+C(x−2).3x+4 \equiv A(2x+1)^2+B(x-2)(2x+1)+C(x-2).

Put x=2x=2:

10=A(5)2A=25.\begin{align*} 10&=A(5)^2\\ A&=\frac25. \end{align*}

Put x=−12x=-\frac12:

3(−12)+4=C(−12−2)52=−52CC=−1.\begin{align*} 3\left(-\frac12\right)+4 &=C\left(-\frac12-2\right)\\ \frac52&=-\frac52C\\ C&=-1. \end{align*}

Now put x=0x=0 in the identity:

4=A(1)2+B(−2)(1)+C(−2)4=A−2B−2C.\begin{align*} 4&=A(1)^2+B(-2)(1)+C(-2)\\ 4&=A-2B-2C. \end{align*}

Using A=25A=\frac25 and C=−1C=-1,

4=25−2B+2−2B=85B=−45.\begin{align*} 4&=\frac25-2B+2\\ -2B&=\frac85\\ B&=-\frac45. \end{align*}

Therefore

A=25,B=−45,C=−1.\boxed{A=\frac25,\qquad B=-\frac45,\qquad C=-1}.

解法二

思路

展开

也可以比较系数。这个方法计算稍多，但它适合检查部分分式答案是否完整一致。

答题过程

展开

From

3x+4≡A(2x+1)2+B(x−2)(2x+1)+C(x−2),3x+4 \equiv A(2x+1)^2+B(x-2)(2x+1)+C(x-2),

expand the right hand side:

3x+4≡ A(4x2+4x+1)+B(2x2−3x−2)+C(x−2)≡ (4A+2B)x2+(4A−3B+C)x+(A−2B−2C).\begin{align*} 3x+4 \equiv&\, A(4x^2+4x+1) +B(2x^2-3x-2)+C(x-2)\\ \equiv&\, (4A+2B)x^2+(4A-3B+C)x+(A-2B-2C). \end{align*}

Compare coefficients:

4A+2B=0,4A−3B+C=3,A−2B−2C=4.\begin{align*} 4A+2B&=0,\\ 4A-3B+C&=3,\\ A-2B-2C&=4. \end{align*}

From 4A+2B=04A+2B=0,

B=−2A.B=-2A.

Substitute this into the other two equations:

10A+C=3,5A−2C=4.\begin{align*} 10A+C&=3,\\ 5A-2C&=4. \end{align*}

From C=3−10AC=3-10A, the second equation gives

5A−2(3−10A)=425A=10A=25.\begin{align*} 5A-2(3-10A)&=4\\ 25A&=10\\ A&=\frac25. \end{align*}

Thus

B=−45,C=3−10(25)=−1.B=-\frac45, \qquad C=3-10\left(\frac25\right)=-1.

So

A=25,B=−45,C=−1.\boxed{A=\frac25,\qquad B=-\frac45,\qquad C=-1}.

(b)

解法一

思路

展开

“Hence” 表示要使用 (a) 的部分分式结果。把 integrand 分成三个较简单的项后分别积分：前两个给出对数项，最后一个是 (2x+1)−2(2x+1)^{-2} 的积分。最后按题目要求把对数合并成单个 ln⁡q\ln q。

答题过程

展开

Using part (a),

3x+4(x−2)(2x+1)2=25(x−2)−45(2x+1)−1(2x+1)2.\frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2} =\frac{2}{5(x-2)} -\frac{4}{5(2x+1)} -\frac{1}{(2x+1)^2}.

So

∫3x+4(x−2)(2x+1)2 dx= 25ln⁡∣x−2∣−45∫12x+1 dx −∫(2x+1)−2 dx= 25ln⁡∣x−2∣−25ln⁡∣2x+1∣+12(2x+1).\begin{align*} \int \frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\,\mathrm{d}x =&\, \frac25\ln|x-2| -\frac45\int \frac{1}{2x+1}\,\mathrm{d}x \\[2mm] &\,-\int (2x+1)^{-2}\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\, \frac25\ln|x-2| -\frac25\ln|2x+1| +\frac{1}{2(2x+1)}. \end{align*}

For 7≤x≤127\leq x\leq 12, the quantities inside the logarithms are positive, so

∫7123x+4(x−2)(2x+1)2 dx= [25ln⁡(x−2)−25ln⁡(2x+1)+12(2x+1)]712.\begin{align*} &\int_7^{12} \frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\, \left[ \frac25\ln(x-2) -\frac25\ln(2x+1) +\frac{1}{2(2x+1)} \right]_7^{12}. \end{align*}

Substitute the limits:

= (25ln⁡10−25ln⁡25+150) −(25ln⁡5−25ln⁡15+130)= 25(ln⁡10−ln⁡25−ln⁡5+ln⁡15)+150−130.\begin{align*} =&\, \left( \frac25\ln 10-\frac25\ln 25+\frac1{50} \right)\\ &\,-\left( \frac25\ln 5-\frac25\ln 15+\frac1{30} \right) \\[2mm] =&\, \frac25\big(\ln 10-\ln 25-\ln 5+\ln 15\big) +\frac1{50}-\frac1{30}. \end{align*}

Now combine the logarithms:

ln⁡10−ln⁡25−ln⁡5+ln⁡15=ln⁡(10⋅1525⋅5)=ln⁡65.\begin{align*} \ln 10-\ln 25-\ln 5+\ln 15 &=\ln\left(\frac{10\cdot 15}{25\cdot 5}\right)\\ &=\ln\frac65. \end{align*}

Also,

150−130=3−5150=−175.\frac1{50}-\frac1{30} =\frac{3-5}{150} =-\frac1{75}.

Therefore

∫7123x+4(x−2)(2x+1)2 dx=25ln⁡65−175.\boxed{ \int_7^{12} \frac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\,\mathrm{d}x =\frac25\ln\frac65-\frac1{75} }.