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IAL 2024 Jan Q7

A Level / Edexcel / P4

IAL 2024 Jan Paper · Question 7

题目

Problem

(a) Using the substitution u=4x+2sin⁡2xu=4x+2\sin 2x, or otherwise, show that

∫0π2e4x+2sin⁡2xcos⁡2x dx=18(e2π−1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{4x+2\sin 2x}\cos^2 x\,dx=\frac{1}{8}\left(e^{2\pi}-1\right)
(5)

The curve shown in Figure 3, has equation

y=6e2x+sin⁡2xcos⁡xy=6e^{2x+\sin 2x}\cos x

The region RR, shown shaded in Figure 3, is bounded by the positive xx-axis, the positive yy-axis and the curve.

The region RR is rotated through 2π2\pi radians about the xx-axis to form a solid.

(b) Use the answer to part (a) to find the volume of the solid formed, giving the answer in simplest form.

(3)
题目中文翻译

（a）使用代换 u=4x+2sin⁡2xu=4x+2\sin 2x，或用其他方法，证明

∫0π2e4x+2sin⁡2xcos⁡2x dx=18(e2π−1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{4x+2\sin 2x}\cos^2 x\,dx=\frac{1}{8}\left(e^{2\pi}-1\right)

图 3 所示曲线的方程为

y=6e2x+sin⁡2xcos⁡xy=6e^{2x+\sin 2x}\cos x

图 3 中阴影区域 RR 由正 xx 轴、正 yy 轴和该曲线围成。

将区域 RR 绕 xx 轴旋转 2π2\pi 弧度得到一个立体。

（b）利用（a）的结果，求所形成立体的体积，并将答案写成最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

题目已经给出代换 u=4x+2sin⁡2xu=4x+2\sin 2x。关键是求导后要把 dudx\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} 化成和 integrand 里的 cos⁡2x\cos^2x 相配的形式。利用 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1+\cos 2x=2\cos^2x，就能把积分变成简单的指数积分。

答题过程

展开

Let

u=4x+2sin⁡2x.u=4x+2\sin 2x.

Then

dudx=4+4cos⁡2x=4(1+cos⁡2x)=8cos⁡2x.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =4+4\cos 2x =4(1+\cos 2x) =8\cos^2x.

So

du=8cos⁡2x dx,\mathrm{d}u=8\cos^2x\,\mathrm{d}x,

and therefore

cos⁡2x dx=18 du.\cos^2x\,\mathrm{d}x=\frac18\,\mathrm{d}u.

When x=0x=0,

u=4(0)+2sin⁡0=0.u=4(0)+2\sin 0=0.

When x=π2x=\frac{\pi}{2},

u=4⋅π2+2sin⁡π=2π.u=4\cdot\frac{\pi}{2}+2\sin\pi=2\pi.

Thus

∫0π2e4x+2sin⁡2xcos⁡2x dx= ∫02πeu⋅18 du= 18[eu]02π= 18(e2π−1).\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{4x+2\sin 2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x =&\, \int_0^{2\pi} e^u\cdot\frac18\,\mathrm{d}u\\ =&\, \frac18\left[e^u\right]_0^{2\pi}\\ =&\, \frac18(e^{2\pi}-1). \end{align*}

Hence

∫0π2e4x+2sin⁡2xcos⁡2x dx=18(e2π−1).\boxed{ \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{4x+2\sin 2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x =\frac18(e^{2\pi}-1) }.

解法二

思路

展开

也可以不用正式换元，而是直接识别出 integrand 是 e4x+2sin⁡2xe^{4x+2\sin 2x} 的导数的一部分。因为指数内部的导数是 8cos⁡2x8\cos^2x，所以原积分就是 18e4x+2sin⁡2x\frac18e^{4x+2\sin 2x} 的定积分。

答题过程

展开

Since

ddx(4x+2sin⁡2x)=8cos⁡2x,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(4x+2\sin 2x\right) =8\cos^2x,

we have

ddx(18e4x+2sin⁡2x)=e4x+2sin⁡2xcos⁡2x.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac18e^{4x+2\sin 2x}\right) =e^{4x+2\sin 2x}\cos^2x.

Therefore

∫0π2e4x+2sin⁡2xcos⁡2x dx= [18e4x+2sin⁡2x]0π2= 18e2π−18e0= 18(e2π−1).\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{4x+2\sin 2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x =&\, \left[\frac18e^{4x+2\sin 2x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ =&\, \frac18e^{2\pi}-\frac18e^0\\ =&\, \frac18(e^{2\pi}-1). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

绕 xx 轴旋转形成体积，用圆盘法 V=π∫y2 dxV=\pi\int y^2\,\mathrm{d}x。把 y=6e2x+sin⁡2xcos⁡xy=6e^{2x+\sin 2x}\cos x 平方后，刚好出现 (a) 中的积分，只差一个常数倍。

答题过程

展开

The volume is

V=π∫0π2y2 dx.V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}y^2\,\mathrm{d}x.

Since

y=6e2x+sin⁡2xcos⁡x,y=6e^{2x+\sin 2x}\cos x,

we have

y2=36e4x+2sin⁡2xcos⁡2x.y^2=36e^{4x+2\sin 2x}\cos^2x.

Therefore

V= π∫0π236e4x+2sin⁡2xcos⁡2x dx= 36π∫0π2e4x+2sin⁡2xcos⁡2x dx.\begin{align*} V =&\, \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} 36e^{4x+2\sin 2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x\\ =&\, 36\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{4x+2\sin 2x}\cos^2x\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Using part (a),

V= 36π⋅18(e2π−1)= 9π2(e2π−1).\begin{align*} V =&\, 36\pi\cdot\frac18(e^{2\pi}-1)\\ =&\, \frac{9\pi}{2}(e^{2\pi}-1). \end{align*}

So the volume is

9π2(e2π−1).\boxed{\frac{9\pi}{2}(e^{2\pi}-1)}.