题目

Problem

The curve $C$ is defined by the equation

8x^3-3y^2+2xy=9

Find an equation of the normal to $C$ at the point $(2,5)$ , giving your answer in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(7)

题目中文翻译

曲线 $C$ 由方程

8x^3-3y^2+2xy=9

定义。

求曲线 $C$ 在点 $(2,5)$ 处的法线方程，并将答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为整数。

解答

展开

题目给出的是隐函数，所以先对方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数。求出切线斜率 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 后，法线斜率是它的负倒数，再用点斜式写出法线方程。

展开

The curve is

8x^3-3y^2+2xy=9.

Differentiate implicitly with respect to $x$ :

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(8x^3) -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3y^2) +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2xy) &=0 \\[2mm] 24x^2-6y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +2\left( x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y \right) &=0. \end{align*}

24x^2-6y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0.

At $(2,5)$ ,

\begin{align*} 24(2)^2-6(5)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +2(2)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2(5)&=0 \\[2mm] 96-30\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+10&=0 \\[2mm] 106-26\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\[2mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{53}{13}. \end{align*}

Therefore the gradient of the normal is

-\frac{13}{53}.

The normal passes through $(2,5)$ , so

y-5=-\frac{13}{53}(x-2).

Multiply by $53$ :

53y-265=-13x+26.

Hence

\boxed{13x+53y-291=0}.