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IAL 2024 May Q7

A Level / Edexcel / P4

IAL 2024 May Paper · Question 7

题目

Problem

The current, xx amps, at time tt seconds after a switch is closed in a particular electric circuit is modelled by the equation

dxdt=k−3x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=k-3x

where kk is a constant.

Initially there is zero current in the circuit.

(a) Solve the differential equation to find an equation, in terms of kk, for the current in the circuit at time tt seconds.

Give your answer in the form x=f(t)x=f(t).

(6)

Given that in the long term the current in the circuit approaches 77 amps,

(b) find the value of kk.

(2)

(c) Hence find the time in seconds it takes for the current to reach 55 amps, giving your answer to 22 significant figures.

(3)
题目中文翻译

某个电路中，开关闭合后 tt 秒时的电流为 xx 安培，其模型为

dxdt=k−3x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=k-3x

其中 kk 为常数。

初始时电路中没有电流。

(a) 解这个微分方程，求 tt 秒时电流的表达式，答案用 kk 表示。

答案写成 x=f(t)x=f(t) 的形式。

已知长期来看，电路中的电流趋近于 77 安培。

(b) 求 kk 的值。

(c) 由此求电流达到 55 安培所需的时间，答案保留 22 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

这是可分离变量的一阶微分方程。把所有含 xx 的部分放到左边，把 dt\mathrm{d}t 放到右边，积分后用初始条件 t=0,x=0t=0,x=0 求常数，最后把 xx 写成题目要求的 x=f(t)x=f(t) 形式。

答题过程

展开

We are given

dxdt=k−3x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=k-3x

Separate variables:

1k−3x dx=dt\frac{1}{k-3x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t

Integrate both sides:

∫1k−3x dx=∫1 dt\int \frac{1}{k-3x}\,\mathrm{d}x=\int 1\,\mathrm{d}t

So

−13ln⁡(k−3x)=t+C-\frac13\ln(k-3x)=t+C

Initially,

t=0,x=0t=0,\qquad x=0

Substitute these values:

−13ln⁡k=C-\frac13\ln k=C

Thus

−13ln⁡(k−3x)=t−13ln⁡k-\frac13\ln(k-3x)=t-\frac13\ln k

Multiply by −3-3:

ln⁡(k−3x)=−3t+ln⁡k\ln(k-3x)=-3t+\ln k

Hence

ln⁡(k−3xk)=−3t\ln\left(\frac{k-3x}{k}\right)=-3t

Exponentiate both sides:

k−3xk=e−3t\frac{k-3x}{k}=e^{-3t}

So

k−3x=ke−3tk-3x=ke^{-3t}

Therefore

3x=k(1−e−3t)3x=k(1-e^{-3t})

and hence

x=k3(1−e−3t)\boxed{x=\frac{k}{3}(1-e^{-3t})}

(b)

解法一

思路

展开

长期来看就是令 t→∞t\to\infty。此时 e−3t→0e^{-3t}\to0，所以电流会趋近于 k3\dfrac{k}{3}。题目说这个极限是 77，于是可以求出 kk。

答题过程

展开

As t→∞t\to\infty,

e−3t→0e^{-3t}\to0

So

x→k3x\to\frac{k}{3}

The long-term current approaches 77 amps, so

k3=7\frac{k}{3}=7

Therefore

k=21\boxed{k=21}

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)，先把 k=21k=21 代入 (a) 的表达式。电流达到 55 amps 时令 x=5x=5，解指数方程即可。最后题目要求 22 位有效数字。

答题过程

展开

Using k=21k=21,

x=7(1−e−3t)x=7(1-e^{-3t})

The current reaches 55 amps when

5=7(1−e−3t)5=7(1-e^{-3t})

So

57=1−e−3t\frac57=1-e^{-3t}

Thus

e−3t=27e^{-3t}=\frac27

Take natural logarithms:

−3t=ln⁡(27)-3t=\ln\left(\frac27\right)

Hence

t=−13ln⁡(27)t=-\frac13\ln\left(\frac27\right)

So

t=0.4178…t=0.4178\ldots

Therefore the time taken is

0.42 seconds\boxed{0.42\text{ seconds}}

to 22 significant figures.