直接用期望公式，含 $p$ 的项会合并。

The terms in $p$ cancel, so

先求 $E(X^2)$，再用 $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。

Since $\operatorname{Var}(X)=2.5$,

So

Hence

and

用总概率为 1。已有三个 $p$，还有一个 $\frac14$。

The probabilities sum to 1:

Using $p=\frac18$,

Amar 第一转直接赢的情况是 $X_1=2$ 或 $3$。如果第一转是负数，要看第二转能否把总和变成正数。

Amar wins immediately if $X_1=2$ or $X_1=3$. This has probability

If $X_1=-2$, he needs $X_2=3$, giving probability

If $X_1=-1$, he needs $X_2=2$ or $X_2=3$, giving probability

Therefore

Using $p=\frac18$,

对立事件（输概率补集法）。 我们也可以通过计算 Amar 输掉游戏的概率，再用 $1 - P(\text{lose})$ 得到赢的概率。 根据规则，Amar 输掉游戏的情况如下：

• 第一转直接输掉：即 $X_1 = 0$。
• 第一转 $X_1 = -2$，且第二转无法使其和大于 0（即 $X_2 \leqslant 2$）。由于 $X$ 只能取 $-2, -1, 0, 2, 3$，满足 $X_2 \leqslant 2$ 的概率为 $1 - P(X_2=3) = 1 - p$。
• 第一转 $X_1 = -1$，且第二转无法使其和大于 0（即 $X_2 \leqslant 1$）。满足 $X_2 \leqslant 1$ 的概率为 $1 - P(X_2=2) - P(X_2=3) = 1 - \frac{1}{4} - p = 0.75 - p$。 因此，Amar 输掉游戏的概率为：

即：

代入 $p = \frac{1}{8}, q = \frac{3}{8}$，求出 $P(\text{lose})$，最后取补集即可。此方法同样分类清晰，而且使用补集概念能够非常有效地交叉验证第一种解法的正确性。

We can find the probability of winning by using the complement rule:

Amar loses the game in the following cases:

• The first spin is $0$: $$\begin{align*} P(X_1 = 0) = q. \end{align*}$$
• The first spin is $-2$ and the sum remains $\leqslant 0$ after the second spin (i.e., $X_2 \leqslant 2$): $$\begin{align*} P(X_1 = -2 \cap X_2 \leqslant 2) = p \times (1 - P(X=3)) = p(1 - p). \end{align*}$$
• The first spin is $-1$ and the sum remains $\leqslant 0$ after the second spin (i.e., $X_2 \leqslant 1$): $$\begin{align*} P(X_1 = -1 \cap X_2 \leqslant 1) = p \times (1 - P(X=2) - P(X=3)) = p\left(1 - \frac{1}{4} - p\right) = p(0.75 - p). \end{align*}$$

Therefore:

Substitute $p = \frac{1}{8}$ and $q = \frac{3}{8}$:

Thus, the probability of Amar winning is:

Amar 关心的是赢的概率，不是单次 spinner 分数的期望。虽然 $E(X)>0$，但赢的概率是 $\frac{7}{16}<\frac12$。

I would not agree with Amar.

Although $E(X)>0$,

So he is more likely to lose than to win.