题目

Problem

The random variable $X$ has a normal distribution with mean 10 and standard deviation 6

(a) Find $P(X<7)$

(3)

(b) Find the value of $k$ such that

P(10-k<X<10+k)=0.60 <div style="text-align: right;">(3)</div>

A single observation $x$ , of $X$ , is to be taken.

A rectangle is drawn on a centimetre grid with vertices having coordinates $(0,0)$ , $(x,0)$ , $(x,x-3)$ and $(0,x-3)$

(8)

解答

(a)

解法一

思路

展开

标准化 $7$ ，它比平均数小，所以是左尾概率。

答题过程

展开

\begin{align*} P(X<7)=P\left(Z<\frac{7-10}{6}\right)=P(Z<-0.5). \end{align*}

Using symmetry,

\begin{align*} P(Z<-0.5)=1-P(Z<0.5). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P(X<7)=1-0.6915=0.3085. \end{align*}

\begin{align*} P(X<7)=0.309\quad\text{to 3 significant figures}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

区间以均值 10 为中心，中间面积是 0.60，所以两侧尾部各 0.20；右端点对应 $\Phi(z)=0.80$ ，即 $z=0.8416$ 。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} P(10-k<X<10+k)=0.60, \end{align*}

we need

\begin{align*} P(X<10+k)=0.80. \end{align*}

\begin{align*} \frac{10+k-10}{6}=0.8416. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} k=6(0.8416)=5.0496. \end{align*}

Hence

\begin{align*} k=5.05. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

矩形宽是 $x$ ，高是 $x-3$ ，面积是 $x(x-3)$ 。先解不等式 $x(x-3)>40$ ，再转化为 normal probability。

答题过程

展开

The area of the rectangle is

\begin{align*} x(x-3). \end{align*}

We need

\begin{align*} x(x-3)>40. \end{align*}

\begin{align*} x^2-3x-40>0. \end{align*}

Factorising,

\begin{align*} (x-8)(x+5)>0. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} x>8\quad\text{or}\quad x<-5. \end{align*}

Hence

\begin{align*} P(\text{area}>40)=P(X>8)+P(X<-5). \end{align*}

Now

\begin{align*} P(X>8)=P\left(Z>\frac{8-10}{6}\right)=P(Z>-0.333\ldots), \end{align*}

and

\begin{align*} P(X<-5)=P\left(Z<\frac{-5-10}{6}\right)=P(Z<-2.5). \end{align*}

\begin{aligned} P(\text{area}>40) =&\,P(Z>-0.333\ldots)+P(Z<-2.5)\\ =&\,0.6293+0.0062\\ =&\,0.6355. \end{aligned}

Therefore the probability is approximately

\begin{align*} 0.636. \end{align*}

IAL 2020 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程