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IAL 2023 Jan Q3

A Level / Edexcel / S1

IAL 2023 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

The probability distribution of the discrete random variable XX is given by

x234P(X=x)a0.40.6−a\begin{array}{c|ccc} x&2&3&4\\ \hline P(X=x)&a&0.4&0.6-a \end{array}

where aa is a constant.

(a) Find, in terms of aa, E⁡(X)\operatorname{E}(X)

(2)

(b) Find the range of the possible values of E⁡(X)\operatorname{E}(X)

(3)

Given that Var⁡(X)=0.56\operatorname{Var}(X)=0.56

(c) find the possible values of aa

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 ∑xP(X=x)\sum xP(X=x)，然后整理成 aa 的一次式。

答题过程

展开 E⁡(X)= 2a+3(0.4)+4(0.6−a)= 2a+1.2+2.4−4a= 3.6−2a.\begin{align*} \operatorname{E}(X) =&\,2a+3(0.4)+4(0.6-a)\\[3mm] =&\,2a+1.2+2.4-4a\\[3mm] =&\,3.6-2a. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

概率必须非负，所以 0<a<0.60<a<0.6。再代入 E⁡(X)=3.6−2a\operatorname{E}(X)=3.6-2a 找范围。

答题过程

展开

Since the probabilities must be positive,

0<a<0.6.\begin{align*} 0<a<0.6. \end{align*}

Using

E⁡(X)=3.6−2a,\begin{align*} \operatorname{E}(X)=3.6-2a, \end{align*}

we get

2.4<E⁡(X)<3.6.\begin{align*} 2.4<\operatorname{E}(X)<3.6. \end{align*}

解法二

思路

展开

不等式代数变换法。根据概率的非负性要求，有 a>0a > 0 且 0.6−a>0  ⟹  a<0.60.6 - a > 0 \implies a < 0.6，即得到 0<a<0.60 < a < 0.6。 要寻找 E⁡(X)=3.6−2a\operatorname{E}(X) = 3.6 - 2a 的取值范围，我们可以通过对不等式进行两边同乘同加的代数性质进行转换：

  1. 不等式 0<a<0.60 < a < 0.6 两边同乘以 −2-2，不等号方向反转，得到：
−1.2<−2a<0\begin{align*} -1.2 < -2a < 0 \end{align*}
  1. 两边同时加上 3.63.6，得到：
3.6−1.2<3.6−2a<3.6\begin{align*} 3.6 - 1.2 < 3.6 - 2a < 3.6 \end{align*}
  1. 化简可得：
2.4<E⁡(X)<3.6\begin{align*} 2.4 < \operatorname{E}(X) < 3.6 \end{align*}

这种方法利用不等式的性质进行严谨的逐步变换推导，过程非常严密，非常适合用作逻辑推理展示。

答题过程

展开

For the probability distribution to be valid, all probabilities must be strictly positive:

a>0and0.6−a>0  ⟹  a<0.6.\begin{align*} a > 0 \quad \text{and} \quad 0.6 - a > 0 \implies a < 0.6. \end{align*}

Thus, the range of aa is:

0<a<0.6.\begin{align*} 0 < a < 0.6. \end{align*}

We want to find the range of E⁡(X)=3.6−2a\operatorname{E}(X) = 3.6 - 2a. Multiply the inequality by −2-2 (reversing the inequality signs):

−1.2<−2a<0.\begin{align*} -1.2 < -2a < 0. \end{align*}

Add 3.63.6 to all parts of the inequality:

3.6−1.2<3.6−2a<3.6.\begin{align*} 3.6 - 1.2 < 3.6 - 2a < 3.6. \end{align*}

Simplify to obtain the range of E⁡(X)\operatorname{E}(X):

2.4<E⁡(X)<3.6.\begin{align*} 2.4 < \operatorname{E}(X) < 3.6. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先求 E⁡(X2)\operatorname{E}(X^2)，再用 variance 公式列方程。最后检查 aa 的值在允许范围内。

答题过程

展开 E⁡(X2)= 22a+32(0.4)+42(0.6−a)= 4a+3.6+9.6−16a= 13.2−12a.\begin{align*} \operatorname{E}(X^2) =&\,2^2a+3^2(0.4)+4^2(0.6-a)\\[3mm] =&\,4a+3.6+9.6-16a\\[3mm] =&\,13.2-12a. \end{align*}

Using Var⁡(X)=0.56\operatorname{Var}(X)=0.56,

0.56= (13.2−12a)−(3.6−2a)20.56= 13.2−12a−(12.96−14.4a+4a2)0.56= 0.24+2.4a−4a24a2−2.4a+0.32= 0.\begin{align*} 0.56=&\,(13.2-12a)-(3.6-2a)^2\\[3mm] 0.56=&\,13.2-12a-(12.96-14.4a+4a^2)\\[3mm] 0.56=&\,0.24+2.4a-4a^2\\[3mm] 4a^2-2.4a+0.32=&\,0. \end{align*}

Multiplying by 2525 gives

100a2−60a+8=0.\begin{align*} 100a^2-60a+8=0. \end{align*}

So

25a2−15a+2=0.\begin{align*} 25a^2-15a+2=0. \end{align*}

Factorising,

(5a−1)(5a−2)=0.\begin{align*} (5a-1)(5a-2)=0. \end{align*}

Therefore

a=15ora=25.\begin{align*} a=\frac{1}{5}\quad\text{or}\quad a=\frac{2}{5}. \end{align*}

Both values satisfy 0<a<0.60<a<0.6.