题目

Problem

A discrete random variable $Y$ has probability function

P(Y=y)= \begin{cases} k(3-y),&y=1,2,\\ k(y^2-8),&y=3,4,5,\\ k,&y=6,\\ 0,&\text{otherwise,} \end{cases}

where $k$ is a constant.

(a) Show that $k=\dfrac{1}{30}$

(2)

Find the exact value of

(b) $P(1<Y\leqslant4)$

(2)

The random variable $X=15-2Y$

(d) Calculate $P(Y\geqslant X)$

(3)

(e) Calculate $\operatorname{Var}(X)$

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $y=1$ 到 $6$ 的概率全部写成 $k$ 的倍数，总和必须为 $1$ 。

答题过程

展开

The probabilities are

\begin{align*} 2k,\ k,\ k,\ 8k,\ 17k,\ k. \end{align*}

Since the total probability is $1$ ,

\begin{align*} 2k+k+k+8k+17k+k=&\,1\\[3mm] 30k=&\,1\\[3mm] k=&\,\frac{1}{30}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$1<Y\leqslant4$ 表示 $Y=2,3,4$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} P(1<Y\leqslant4) =&\,P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)\\[3mm] =&\,k+k+8k\\[3mm] =&\,10k\\[3mm] =&\,\frac{10}{30}\\[3mm] =&\,\frac{1}{3}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

期望用 $\sum yP(Y=y)$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} \operatorname{E}(Y) =&\,1(2k)+2(k)+3(k)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+4(8k)+5(17k)+6(k)\\[3mm] =&\,130k\\[3mm] =&\,\frac{130}{30}\\[3mm] =&\,\frac{13}{3}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

把 $X=15-2Y$ 代入不等式 $Y\geqslant X$ ，先判断哪些 $Y$ 值符合。

答题过程

展开

\begin{align*} Y&\geqslant X\\[3mm] Y&\geqslant 15-2Y\\[3mm] 3Y&\geqslant 15\\[3mm] Y&\geqslant5. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P(Y\geqslant X) =&\,P(Y=5)+P(Y=6)\\[3mm] =&\,17k+k\\[3mm] =&\,18k\\[3mm] =&\,\frac{18}{30}\\[3mm] =&\,\frac{3}{5}. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

先求 $\operatorname{Var}(Y)$ ，再用 $X=15-2Y$ 得

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=(-2)^2\operatorname{Var}(Y)=4\operatorname{Var}(Y). \end{align*}

答题过程

展开

First,

\begin{align*} \operatorname{E}(Y^2) =&\,1^2(2k)+2^2(k)+3^2(k)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+4^2(8k)+5^2(17k)+6^2(k)\\[3mm] =&\,604k\\[3mm] =&\,\frac{302}{15}. \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,\operatorname{E}(Y^2)-[\operatorname{E}(Y)]^2\\[3mm] =&\,\frac{302}{15}-\left(\frac{13}{3}\right)^2\\[3mm] =&\,\frac{61}{45}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,4\operatorname{Var}(Y)\\[3mm] =&\,4\cdot\frac{61}{45}\\[3mm] =&\,\frac{244}{45}. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接分佈計算法。我們不使用 $\operatorname{Var}(15-2Y) = 4\operatorname{Var}(Y)$ 的轉換公式，而是先列出 $X = 15-2Y$ 的概率分佈，然後直接計算 $E(X)$ 、 $E(X^2)$ 與 $\operatorname{Var}(X)$ 。由 $Y$ 的可能取值 $1,2,3,4,5,6$ ，可算出 $X$ 的對應取值：

当 $Y=1$ 时， $X=13$ ，概率为 $2k = \frac{2}{30}$ 。
当 $Y=2$ 时， $X=11$ ，概率为 $k = \frac{1}{30}$ 。
当 $Y=3$ 时， $X=9$ ，概率为 $k = \frac{1}{30}$ 。
当 $Y=4$ 时， $X=7$ ，概率为 $8k = \frac{8}{30}$ 。
当 $Y=5$ 时， $X=5$ ，概率为 $17k = \frac{17}{30}$ 。
当 $Y=6$ 时， $X=3$ ，概率为 $k = \frac{1}{30}$ 。然後我們直接用離散隨機變量方差公式 $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ 計算。這種方法繞開了線性變換公式，在思路上最為本源。

答题过程

展开

First find the probability distribution of $X = 15 - 2Y$ with $k = \frac{1}{30}$ :

$y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x$	$13$	$11$	$9$	$7$	$5$	$3$
$P(X=x)$	$2k$	$k$	$k$	$8k$	$17k$	$k$

Calculate the expectation $\operatorname{E}(X)$ :

\begin{align*} \operatorname{E}(X) =&\,\, 13(2k) + 11(k) + 9(k) + 7(8k) + 5(17k) + 3(k)\\[3mm] =&\,\, (26 + 11 + 9 + 56 + 85 + 3)k\\[3mm] =&\,\, 190k\\[3mm] =&\,\, \frac{190}{30} = \frac{19}{3} \end{align*}

Calculate $\operatorname{E}(X^2)$ :

\begin{align*} \operatorname{E}(X^2) =&\,\, 13^2(2k) + 11^2(k) + 9^2(k) + 7^2(8k) + 5^2(17k) + 3^2(k)\\[3mm] =&\,\, (338 + 121 + 81 + 392 + 425 + 9)k\\[3mm] =&\,\, 1366k\\[3mm] =&\,\, \frac{1366}{30} = \frac{683}{15} \end{align*}

Now calculate the variance of $X$ :

\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,\, \operatorname{E}(X^2) - [\operatorname{E}(X)]^2\\[3mm] =&\,\, \frac{683}{15} - \left(\frac{19}{3}\right)^2\\[3mm] =&\,\, \frac{683}{15} - \frac{361}{9}\\[3mm] =&\,\, \frac{2049 - 1805}{45}\\[3mm] =&\,\, \frac{244}{45}. \end{align*}

IAL 2023 June Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程