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IAL 2024 Jan Q7

A Level / Edexcel / S1

IAL 2024 Jan Paper · Question 7

题目

Problem

The cumulative distribution of a discrete random variable XX is given by

xx11223344
F(x)F(x)113\dfrac1{13}2k−126\dfrac{2k-1}{26}3(k+1)26\dfrac{3(k+1)}{26}k+48\dfrac{k+4}{8}

where kk is a positive constant.

(a) Show that k=4k=4.

(1)

(b) Find the probability distribution of the discrete random variable XX.

(3)

(c) Using your answer to part (b), write down the mode of XX.

(1)

(d) Calculate Var⁡(13X−6)\operatorname{Var}(13X-6).

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

XX 最大取值是 44，所以 F(4)=P(X⩽4)=1F(4)=P(X\leqslant4)=1。

答题过程

展开

Since XX can only take the values 1,2,3,41,2,3,4,

F(4)=1.\begin{align*} F(4)=1. \end{align*}

Therefore

k+48=1.\begin{align*} \frac{k+4}{8}=1. \end{align*}

So

k+4=8\begin{align*} k+4=8 \end{align*}

and hence

k=4.\begin{align*} k=4. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先代入 k=4k=4 得到 CDF，再用相邻 CDF 相减求概率分布。

答题过程

展开

Using k=4k=4,

F(1)=113,F(2)=726,F(3)=1526,F(4)=1.F(1)=\frac1{13},\quad F(2)=\frac7{26},\quad F(3)=\frac{15}{26},\quad F(4)=1.

Therefore

P(X=1)=113.\begin{align*} P(X=1)=\frac1{13}. \end{align*}

Also,

P(X=2)= F(2)−F(1)= 726−113= 526.\begin{align*} P(X=2) =&\,F(2)-F(1)\\[3mm] =&\,\frac7{26}-\frac1{13}\\[3mm] =&\,\frac5{26}. \end{align*}

Similarly,

P(X=3)= F(3)−F(2)= 1526−726= 413,\begin{align*} P(X=3) =&\,F(3)-F(2)\\[3mm] =&\,\frac{15}{26}-\frac7{26}\\[3mm] =&\,\frac4{13}, \end{align*}

and

P(X=4)= 1−F(3)= 1−1526= 1126.\begin{align*} P(X=4) =&\,1-F(3)\\[3mm] =&\,1-\frac{15}{26}\\[3mm] =&\,\frac{11}{26}. \end{align*}

So

x1234P(X=x)1135264131126\begin{array}{c|cccc} x&1&2&3&4\\ \hline P(X=x)&\frac1{13}&\frac5{26}&\frac4{13}&\frac{11}{26} \end{array}

(c)

解法一

思路

展开

众数是概率最大的取值。表中最大概率是 1126\frac{11}{26}，对应 X=4X=4。

答题过程

展开

The mode of XX is

4.\begin{align*} 4. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

先求 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)，再用线性变换公式：

Var⁡(13X−6)=132Var⁡(X).\begin{align*} \operatorname{Var}(13X-6)=13^2\operatorname{Var}(X). \end{align*}

答题过程

展开

First,

E(X)= 1(113)+2(526) +3(413) +4(1126)= 4013.\begin{align*} E(X) =&\,1\left(\frac1{13}\right)+2\left(\frac5{26}\right)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+3\left(\frac4{13}\right)\\[3mm] &\,\hspace{4pt}+4\left(\frac{11}{26}\right)\\[3mm] =&\,\frac{40}{13}. \end{align*}

Also,

E(X2)= 12(113)+22(526) +32(413) +42(1126)= 13513.\begin{align*} E(X^2) =&\,1^2\left(\frac1{13}\right)+2^2\left(\frac5{26}\right)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+3^2\left(\frac4{13}\right)\\[3mm] &\,\hspace{4pt}+4^2\left(\frac{11}{26}\right)\\[3mm] =&\,\frac{135}{13}. \end{align*}

Therefore

Var⁡(X)= E(X2)−[E(X)]2= 13513−(4013)2= 155169.\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,E(X^2)-[E(X)]^2\\[3mm] =&\,\frac{135}{13}-\left(\frac{40}{13}\right)^2\\[3mm] =&\,\frac{155}{169}. \end{align*}

Hence

Var⁡(13X−6)= 132Var⁡(X)= 169(155169)= 155.\begin{align*} \operatorname{Var}(13X-6) =&\,13^2\operatorname{Var}(X)\\[3mm] =&\,169\left(\frac{155}{169}\right)\\[3mm] =&\,155. \end{align*}