题目

Problem

A spinner can land on the numbers $2$ , $4$ , $5$ , $7$ or $8$ only. The random variable $X$ represents the number that this spinner lands on when it is spun once. The probability distribution of $X$ is given in the table below.

$x$	$2$	$4$	$5$	$7$	$8$
$P(X=x)$	$0.25$	$0.3$	$0.2$	$0.1$	$0.15$

(a) Find $P(2X-3>5)$ .

(1)

Given that $E(X)=4.6$

(b) show that $\operatorname{Var}(X)=4.14$ .

(3)

The random variable $Y=aX-b$ where $a$ and $b$ are positive constants.

Given that

E(Y)=13.4 \quad\text{and}\quad \operatorname{Var}(Y)=66.24

(4)

In a game Sam and Alex each spin the spinner once, landing on $X_1$ and $X_2$ respectively. Sam’s score is given by the random variable $S=X_1$ . Alex’s score is given by the random variable $R=2X_2-3$ . The person with the higher score wins the game. If the scores are the same it is a draw.

(d) Find the probability that Sam wins the game.

(4)

解答

(a)

解法一

思路

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先解不等式：

\begin{align*} 2X-3>5\Longrightarrow X>4. \end{align*}

所以取 $X=5,7,8$ 的概率相加。

答题过程

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\begin{align*} 2X-3&>5\\[3mm] 2X&>8\\[3mm] X&>4. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P(2X-3>5) =&\,P(X=5)+P(X=7)+P(X=8)\\[3mm] =&\,0.2+0.1+0.15\\[3mm] =&\,0.45. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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用

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2. \end{align*}

题目已经给出 $E(X)=4.6$ ，所以重点是完整算出 $E(X^2)$ 。

答题过程

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First,

\begin{align*} E(X^2) =&\,2^2(0.25)+4^2(0.3)+5^2(0.2)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+7^2(0.1)+8^2(0.15)\\[3mm] =&\,1+4.8+5+4.9+9.6\\[3mm] =&\,25.3. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,E(X^2)-[E(X)]^2\\[3mm] =&\,25.3-(4.6)^2\\[3mm] =&\,25.3-21.16\\[3mm] =&\,4.14. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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线性变换的期望和方差：

\begin{align*} E(aX-b)=aE(X)-b, \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{Var}(aX-b)=a^2\operatorname{Var}(X). \end{align*}

先用方差求 $a$ ，再用期望求 $b$ 。

答题过程

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Since $Y=aX-b$ ,

\begin{align*} E(Y)=aE(X)-b. \end{align*}

\begin{align*} 13.4=4.6a-b. \end{align*}

Also,

\begin{align*} \operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X). \end{align*}

Hence

\begin{align*} 66.24=&\,4.14a^2\\[3mm] a^2=&\,16\\[3mm] a=&\,4, \end{align*}

since $a$ is positive.

Then

\begin{align*} 13.4=&\,4.6(4)-b\\[3mm] b=&\,18.4-13.4\\[3mm] b=&\,5. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} a=4,\qquad b=5. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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Sam 的分数就是 $X_1$ 。Alex 的分数是 $2X_2-3$ ，所以 Alex 可能得分：

\begin{align*} 1,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13. \end{align*}

列出 Sam 赢的情况，再把独立概率相乘相加。

答题过程

展开

Sam wins when

\begin{align*} X_1>2X_2-3. \end{align*}

If Alex spins $2$ , then $R=1$ , so Sam always wins.

If Alex spins $4$ , then $R=5$ , so Sam must spin $7$ or $8$ .

If Alex spins $5$ , then $R=7$ , so Sam must spin $8$ .

If Alex spins $7$ or $8$ , then $R=11$ or $13$ , so Sam cannot win.

Therefore

\begin{align*} P(\text{Sam wins}) =&\,0.25\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+0.3(0.1+0.15)\\[3mm] &\,\hspace{4pt}+0.2(0.15)\\[3mm] =&\,0.25+0.075+0.03\\[3mm] =&\,0.355. \end{align*}

解法二

思路

展开

按 Sam 的得分进行分组列举。 Sam 的得分 $S = X_1$ 可以是 $2, 4, 5, 7, 8$ 。 Alex 的得分 $R = 2X_2-3$ 可以是 $1, 5, 7, 11, 13$ 。要让 Sam 获胜（ $S > R$ ）：

当 $S=2$ 时，Alex 只能投出 $R=1$ （即 $X_2=2$ ）。
当 $S=4$ 时，Alex 只能投出 $R=1$ （即 $X_2=2$ ）。
当 $S=5$ 时，Alex 可以投出 $R=1, 5$ （即 $X_2=2, 4$ ）。
当 $S=7$ 时，Alex 可以投出 $R=1, 5$ （即 $X_2=2, 4$ ）。
当 $S=8$ 时，Alex 可以投出 $R=1, 5, 7$ （即 $X_2=2, 4, 5$ ）。我们计算出这五种情况下 Sam 获胜的联合概率，再全部加起来。这种方法与解法一阻断方向相反（解法一是按 Alex 的可能得分列举），能有效提高检验和列举的全面性。

答题过程

展开

We partition the winning cases by Sam’s score $S$ :

If Sam scores $S=2$ , Sam wins if Alex scores $R=1$ : $P(S=2 \cap R=1) = 0.25 \times 0.25 = 0.0625$
If Sam scores $S=4$ , Sam wins if Alex scores $R=1$ : $P(S=4 \cap R=1) = 0.3 \times 0.25 = 0.075$
If Sam scores $S=5$ , Sam wins if Alex scores $R=1$ or $R=5$ : $P(S=5 \cap (R=1 \cup R=5)) = 0.2 \times (0.25 + 0.3) = 0.2 \times 0.55 = 0.11$
If Sam scores $S=7$ , Sam wins if Alex scores $R=1$ or $R=5$ : $P(S=7 \cap (R=1 \cup R=5)) = 0.1 \times (0.25 + 0.3) = 0.1 \times 0.55 = 0.055$
If Sam scores $S=8$ , Sam wins if Alex scores $R=1$ , $R=5$ , or $R=7$ : $P(S=8 \cap (R=1 \cup R=5 \cup R=7)) = 0.15 \times (0.25 + 0.3 + 0.2) = 0.15 \times 0.75 = 0.1125$

Summing all these independent probabilities:

\begin{align*} P(\text{Sam wins}) =&\,\, 0.0625 + 0.075 + 0.11 + 0.055 + 0.1125\\[3mm] =&\,\, 0.355. \end{align*}

IAL 2024 May Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程