题目
Problem
The continuous random variable has a probability density function given by
\dfrac{1}{2}k(x - 1) & 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{4}k(10 - x) & 3 < x \leqslant 6 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ where $k$ is a positive constant. (a) Sketch $f(x)$ for all values of $x$ (b) Show that $k = \dfrac{1}{6}$ <div style="text-align: right;">(2)</div> <div style="text-align: right;">(7)</div> (c) Specify fully the cumulative distribution function $F(x)$ of $X$ Given that $E(X) = \dfrac{61}{12}$ (d) find $P(X > E(X))$ (e) Describe the skewness of the distribution, giving a reason for your answer. <div style="text-align: right;">(2)</div> <div style="text-align: right;">(2)</div> (Total for Question 4 is 15 marks)题目中文翻译
连续随机变量 的概率密度函数为
\dfrac{1}{2}k(x - 1) & 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{4}k(10 - x) & 3 < x \leqslant 6 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ 其中 $k$ 为正数常数。 (a) 画出所有 $x$ 值下的 $f(x)$ 图像。 (b) 证明 $k = \dfrac{1}{6}$。 (c) 完整写出 $X$ 的累积分布函数 $F(x)$。 已知 $E(X) = \dfrac{61}{12}$。 (d) 求 $P(X > E(X))$。 (e) 描述该分布的偏度，并给出理由。 （第 4 题共 15 分） </details> # 解答